高考数学必做百题第05题（理科2017版）

（2）已知

命题$p$：方程$x^2 +mx+1=0$有两个不相等的负实根，

命题$q$：不等式$4x^2 +4(m-2)x+1>0$的解集为$R$。

若$p$或$q$为真命题、$p$且$q$为假命题，则实数$m$的取值范围是_________。

解:（1）$p$：${{x}^{2}}-8x-20\le 0\Leftrightarrow -2\le x\le 10$，

$q$：${{x}^{2}}-2x+1-{{a}^{2}}\le 0\Leftrightarrow 1-a\le x\le 1+a$。

∵$p$是$q$的充分不必要条件，即$p\Rightarrow q$， $q\ne >$$p$，

∴ $\left\{ \begin{matrix}   1-a\le -2,  \\   1+a\ge 10,  \\\end{matrix} \right.\left( a>0 \right)$，解得$a\ge 9$。

∴所求实数$a$的取值范围是$\left[ 9,+\infty  \right)$。

（2）命题$p$：方程$x^2 +mx+1=0$有两个不相等的负实根

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta \text{=}{{m}^{2}}-4>0  \\   m>0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>2$。

命题$q$：不等式$4x^2 +4(m-2)x+1>0$的解集为$R$

$\Leftrightarrow \Delta =16{{\left( m-2 \right)}^{2}}-16<0\Leftrightarrow 1<m<3$。

若p或q为真命题、p且q为假命题等价于p真且q假，或p假且q真。

①p真且q假 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m>2\begin{matrix}   {} & {} & {}  \\\end{matrix}  \\   m\le 1m\ge 3  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m\ge 3$；

②p假且q真 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m\le 2\quad   \\   1<m<3  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow 1<m\le 2$。

综上所述，实数$m$的取值范围为$\left( 1,2 \right]\bigcup \left[ 3,+\infty  \right)$