高考数学必做百题第08题（文科2017版）

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平面向量

008.（1）(2016北京文9)已知向量$\vec{a}=(1,\sqrt{3}),\vec{b}=(\sqrt{3},1)$ ，则向量$\vec{a}$与$\vec{b}$夹角的大小为_________。

（2）（2016天津文7）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点$D,E$分别是边$AB,BC$的中点，连接$DE$并延长到点$F$，使得$DE=2EF$，则$\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{BC}$的值为（    ）

A.$-\dfrac{5}{8}$                            B.$\dfrac{1}{8}$                C.$\dfrac{1}{4}$                  D.$\dfrac{11}{8}$

解：（1）∵$\cos \left\langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rangle =\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|\cdot \left| \overrightarrow{b} \right|}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2\times 2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且两向量的夹角范围为$\left[ 0,\pi  \right]$，（应用数量积求两向量夹角）

∴两向量的夹角为$\dfrac{\pi }{6}$。

考点：平面向量数量积，已知余弦值求角。

（2）

设$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$，

∴$\overrightarrow{DE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$，

$\overrightarrow{DF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{DE}=\dfrac{3}{4}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$，

$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a}+\dfrac{3}{4}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=-\dfrac{5}{4}\overrightarrow{a}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{b}$。

∴$\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{BC}=-\dfrac{5}{4}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\dfrac{3}{4}{{\overrightarrow{b}}^{2}}$ $\text{=}-\dfrac{5}{4}\left| \overrightarrow{a} \right|\cdot \left| \overrightarrow{b} \right|\cos {{60}^{\circ }}+\dfrac{3}{4}{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}=-\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{8}$。

故选B。

考点：基向量，向量线性运算，向量数量积。

（选择平面基向量，把所以向量用基向量表示，应用向量运算求得结果）

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