高考数学必做百题第02题（文科2017版）

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002. 已知集合$A=\{x|3\le x<7\}$，$B=\{x|5<x<10\}$，

求（1）${{\complement }_{R}}A$、${{\complement }_{R}}B$、$({{\complement }_{R}}A)\bigcap B$、$A\bigcup ({{\complement }_{R}}B)$；

（2）${{\complement }_{R}}(A\bigcup B)$、${{\complement }_{R}}(A\bigcap B)$，$({{\complement }_{R}}A)\bigcup ({{\complement }_{R}}B)$、

$({{\complement }_{R}}A)\bigcap ({{\complement }_{R}}B)$，由此得出什么结论。

解：（1）∵$A=\{x|3\le x<7\}$，$B=\{x|5<x<10\}$，

∴${{\complement }_{R}}A=\left\{ x|x<3x\ge 7 \right\}$，${{\complement }_{R}}B=\left\{ x|x\le 5x\ge 10 \right\}$。

（应用补集的定义与运算）

∴$({{\complement }_{R}}A)\bigcap B$$=\left\{ x|x<3x\ge 7 \right\}\bigcap \{x|5<x<10\}$

$=\left\{ x|7\le x<10 \right\}$，（交集运算）

$A\bigcup ({{\complement }_{R}}B)=\{x|3\le x<7\}\bigcup \left\{ x|x\le 5x\ge 10 \right\}$

$=\left\{ x|x<7x\ge 10 \right\}$。（并集运算）

（2）∵$A\bigcup B=\left\{ x|3\le x<10 \right\}$，

$A\bigcap B=\left\{ x|5<x<7 \right\}$，

∴${{\complement }_{R}}(A\bigcup B)=\left\{ x|x<3x\ge 10 \right\}$，

${{\complement }_{R}}(A\bigcap B)=\left\{ x|x\le 5x\ge 7 \right\}$。

∵${{\complement }_{R}}A=\left\{ x|x<3x\ge 7 \right\}$，

${{\complement }_{R}}B=\left\{ x|x\le 5x\ge 10 \right\}$， 

∴$({{\complement }_{R}}A)\bigcup ({{\complement }_{R}}B)\text{=}\left\{ x|x\le 5x\ge 7 \right\}$，

$({{\complement }_{R}}A)\bigcap ({{\complement }_{R}}B)=\left\{ x|x<3x\ge 10 \right\}$。

显然，${{\complement }_{R}}(A\bigcup B)\text{=}({{\complement }_{R}}A)\bigcap ({{\complement }_{R}}B)$，

${{\complement }_{R}}(A\bigcap B)\text{=}({{\complement }_{R}}A)\bigcup ({{\complement }_{R}}B)$。（并、交、补综合运算的经验归纳）

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