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2024年高考数学上海春5

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（4分）三角形

$ABC$ 中，

$BC=2,A=\dfrac{\pi }{3},B=\dfrac{\pi }{4}$ ，则

$AB=$ ____．

答案：

$\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{3}$ ．
分析：根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
解：三角形

$ABC$ 中，

$A+B+C=\pi ,C=\dfrac{5\pi }{12}$ ，

$\sin C=\sin (\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi }{6})=\sin \dfrac{\pi }{4}\cos \dfrac{\pi }{6}+\cos \dfrac{\pi }{4}\sin \dfrac{\pi }{6}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ ，
由正弦定理

$\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AB}{\sin C}$ ，

$BC=2$ ，

$A=\dfrac{\pi }{3}$ ，
故

$AB=\dfrac{BC\sin C}{\sin A}=\dfrac{2\times \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{3}$ ．
故答案为：

$\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{3}$ ．
点评：本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．

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