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2023年高考数学新高考Ⅱ-22

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（12分）（1）证明：当

$0 < x < 1$ 时，

$x-x^{2} < \sin x < x$ ；
（2）已知函数

$f(x)=\cos ax-\ln (1-x^{2})$ ，若

$x=0$ 为

$f(x)$ 的极大值点，求

$a$ 的取值范围．
分析：（1）分别构造函数

$g(x)=x-x^{2}-\sin x$ ，

$h(x)=x-\sin x$ ，利用导数研究函数的单调性与最值，即可证明；
（2）分类讨论二阶导函数的符号，从而可得一阶导函数的符号，从而得原函数的单调性，从而可得极值点，即可得解．
（1）证明：设

$g(x)=x-x^{2}-\sin x$ ，

$x\in (0,1)$ ，
则

$g\prime (x)=1-2x-\cos x$ ，

$\therefore g\prime \prime (x)=-2+\sin x < 0$ ，

$\therefore g\prime (x)$ 在

$(0,1)$ 上单调递减，

$\therefore g\prime (x) < g\prime (0)=0$ ，

$\therefore g(x)$ 在

$(0,1)$ 上单调递减，

$\therefore g(x) < g(0)=0$ ，
即

$x-x^{2}-\sin x < 0$ ，

$x\in (0,1)$ ，

$\therefore x-x^{2} < \sin x$ ，

$x\in (0,1)$ ，
设

$h(x)=x-\sin x$ ，

$x\in (0,1)$ ，
则

$h\prime (x)=1-\cos x > 0$ ，

$\therefore h(x)$ 在

$(0,1)$ 上单调递增，

$\therefore h(x) > h(0)=0$ ，

$x\in (0,1)$ ，
即

$x-\sin x > 0$ ，

$x\in (0,1)$ ，

$\therefore \sin x < x$ ，

$x\in (0,1)$ ，
综合可得：当

$0 < x < 1$ 时，

$x-x^{2} < \sin x < x$ ；
（2）解：

$\because f\prime (x)=-a\sin ax+\dfrac{2x}{1-{x}^{2}}$ ，

$\therefore f\prime \prime (x)=-{a}^{2}\cos ax+\dfrac{2+2{x}^{2}}{(1-{x}^{2})^{2}}$ ，
且

$f\prime (0)=0$ ，

$f\prime \prime (0)=-a^{2}+2$ ，
①若

$f\prime \prime (0)=2-a^{2} > 0$ ，即

$-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$ 时，
易知存在

$t_{1} > 0$ ，使得

$x\in (0,t_{1})$ 时，

$f\prime \prime (x) > 0$ ，

$\therefore f\prime (x)$ 在

$(0,t_{1})$ 上单调递增，

$\therefore f\prime (x) > f\prime (0)=0$ ，

$\therefore f(x)$ 在

$(0,t_{1})$ 上单调递增，这显然与

$x=0$ 为函数的极大值点相矛盾，故舍去；
②若

$f\prime \prime (0)=2-a^{2} < 0$ ，即

$a < -\sqrt{2}$ 或

$a > \sqrt{2}$ 时，
存在

$t_{2} > 0$ ，使得

$x\in (-t_{2}$ ，

$t_{2})$ 时，

$f\prime \prime (x) < 0$ ，

$\therefore f\prime (x)$ 在

$(-t_{2}$ ，

$t_{2})$ 上单调递减，又

$f\prime (0)=0$ ，

$\therefore$ 当

$-t_{2} < x < 0$ 时，

$f\prime (x) > 0$ ，

$f(x)$ 单调递增；
当

$0 < x < t_{2}$ 时，

$f\prime (x) < 0$ ，

$f(x)$ 单调递减，满足

$x=0$ 为

$f(x)$ 的极大值点，符合题意；
③若

$f\prime \prime (0)=2-a^{2}=0$ ，即

$a=\pm \sqrt{2}$ 时，

$\because f(x)$ 为偶函数，

$\therefore$ 只考虑

$a=\sqrt{2}$ 的情况，
此时

$f\prime (x)=-\sqrt{2}\sin (\sqrt{2}x)+\dfrac{2x}{1-{x}^{2}}$ ，

$x\in (0,1)$ 时，

$f\prime (x) > -2x+\dfrac{2x}{1-{x}^{2}}=2x(\dfrac{1}{1-{x}^{2}}-1) > 0$ ，

$\therefore f(x)$ 在

$(0,1)$ 上单调递增，与显然与

$x=0$ 为函数的极大值点相矛盾，故舍去．
综合可得：

$a$ 的取值范围为

$(-\infty$ ，

$-\sqrt{2})\bigcup (\sqrt{2}$ ，

$+\infty )$ ．
点评：本题考查导数的综合应用，构造函数证明不等式，利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论思想，化归转化思想，属难题．

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