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2023年高考数学新高考Ⅱ-20<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-22
（12分）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为(−2√5，0)，离心率为√5．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(−4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．
分析：（1）根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解；
（2）设出直线MN的方程，并与双曲线C联立，再结合韦达定理，推得x1+x2=32m4m2−1，x1x2=484m2−1，设出MA1，NA2直线方程，再联立方程，即可求解．
解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为(−2√5，0)，离心率为√5，
则{c2=a2+b2c=2√5e=ca=√5，解得{a=2b=4，
故双曲线C的方程为x24−y216=1；
（2）证明：过点(−4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，
则可设直线MN的方程为x=my−4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
记C的左，右顶点分别为A1，A2，
则A1(−2,0)，A2(2,0)，
联立{x=my−44x2−y2=16，化简整理可得，(4m2−1)y2−32my+48=0，
故△=(−32m)2−4×48×(4m2−1)=256m2+192>0且4m2−1≠0，
y1+y2=32m4m2−1，y1y2=484m2−1，
直线MA1的方程为y=y1x1+2(x+2)，直线NA2方程y=y2x2−2(x−2)，
故x+2x−2=y2(x1+2)y1(x2−2)=y2(my1−2)y1(my2−6)
=my1y2−2(y1+y2)+2y1my1y2−6y1
=m⋅484m2−1−2⋅32m4m2−1+2y1m⋅484m2−1−6y1
=−16m4m2−1+2y148m4m2−1−6y1=−13，
故x+2x−2=−13，解得x=−1，
所以xP=−1，
故点P在定直线x=−1上运动．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
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