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2023年高考数学新高考Ⅱ-20<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-22
（12分）已知双曲线$C$中心为坐标原点，左焦点为$(-2\sqrt{5}$，$0)$，离心率为$\sqrt{5}$．
（1）求$C$的方程；
（2）记$C$的左、右顶点分别为$A_{1}$，$A_{2}$，过点$(-4,0)$的直线与$C$的左支交于$M$，$N$两点，$M$在第二象限，直线$MA_{1}$与$NA_{2}$交于$P$，证明$P$在定直线上．
分析：（1）根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解；
（2）设出直线$MN$的方程，并与双曲线$C$联立，再结合韦达定理，推得${x}_{1}+{x}_{2}=\dfrac{32m}{4{m}^{2}-1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{48}{4{m}^{2}-1}$，设出$MA_{1}$，$NA_{2}$直线方程，再联立方程，即可求解．
解：（1）双曲线$C$中心为原点，左焦点为$(-2\sqrt{5}$，$0)$，离心率为$\sqrt{5}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}\\ {c=2\sqrt{5}}\\ {e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\ {b=4}\end{array}\right.$，
故双曲线$C$的方程为$\dfrac{{x}^{2}}{4}-\dfrac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）证明：过点$(-4,0)$的直线与$C$的左支交于$M$，$N$两点，
则可设直线$MN$的方程为$x=my-4$，$M(x_{1}$，$y_{1})$，$N(x_{2}$，$y_{2})$，
记$C$的左，右顶点分别为$A_{1}$，$A_{2}$，
则$A_{1}(-2,0)$，$A_{2}(2,0)$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-4}\\ {4{x}^{2}-{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，化简整理可得，$(4m^{2}-1)y^{2}-32my+48=0$，
故△$=(-32m)^{2}-4\times 48\times (4m^{2}-1)=256m^{2}+192 > 0$且$4m^{2}-1\ne 0$，
${y}_{1}+{y}_{2}=\dfrac{32m}{4{m}^{2}-1}$，${y}_{1}{y}_{2}=\dfrac{48}{4{m}^{2}-1}$，
直线$MA_{1}$的方程为$y=\dfrac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}(x+2)$，直线$NA_{2}$方程$y=\dfrac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}(x-2)$，
故$\dfrac{x+2}{x-2}=\dfrac{{y}_{2}({x}_{1}+2)}{{y}_{1}({x}_{2}-2)}=\dfrac{{y}_{2}(m{y}_{1}-2)}{{y}_{1}(m{y}_{2}-6)}$
$=\dfrac{m{y}_{1}{y}_{2}-2({y}_{1}+{y}_{2})+2{y}_{1}}{m{y}_{1}{y}_{2}-6{y}_{1}}$
$=\dfrac{m\cdot \dfrac{48}{4{m}^{2}-1}-2\cdot \dfrac{32m}{4{m}^{2}-1}+2{y}_{1}}{m\cdot \dfrac{48}{4{m}^{2}-1}-6{y}_{1}}$
$=\dfrac{\dfrac{-16m}{4{m}^{2}-1}+2{y}_{1}}{\dfrac{48m}{4{m}^{2}-1}-6{y}_{1}}=-\dfrac{1}{3}$，
故$\dfrac{x+2}{x-2}=-\dfrac{1}{3}$，解得$x=-1$，
所以$x_{P}=-1$，
故点$P$在定直线$x=-1$上运动．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
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