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2023年高考数学新高考Ⅱ-18

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（12分）已知

$\{a_{n}\}$ 为等差数列，

${{b}_{n}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{a}_{n}}-6,n \\ 2{{a}_{n}},n \\ \end{array} \right.$ ，记

$S_{n}$ ，

$T_{n}$ 为

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，

$S_{4}=32$ ，

$T_{3}=16$ ．
（1）求

$\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）证明：当

$n > 5$ 时，

$T_{n} > S_{n}$ ．
分析：（1）根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前

$n$ 项和公式，即可求解；
（2）根据已知条件，求出

$T_{n}$ ，

$S_{n}$ ，再结合作差法，并分类讨论，即可求证．
解：（1）设等差数列

$\{a_{n}\}$ 的公差为

$d$ ，

$S_{n}$ ，

$T_{n}$ 为

$\{a_{n}\}\{b_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，

$S_{4}=32$ ，

$T_{3}=16$ ，
则

$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}=32}\\ {{a}_{1}-6+2{a}_{2}+{a}_{3}-6=16}\end{array}\right.$ ，即

$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+\dfrac{4(4-1)}{2}d=32}\\ {{a}_{2}=7}\end{array}\right.$ ，解得

$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\ {d=2}\end{array}\right.$ ，
故

$a_{n}=5+2(n-1)=2n+3$ ；
（2）证明：由（1）可知，

${{b}_{n}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2n-3,n \\ 4n+6,n \\ \end{array} \right.$ ，

$S_n=\dfrac{(5+2n+3)n}{2}=(n+4)n$ ，
当

$n$ 为偶数时，

$n > 5$ ，

$T_{n}=-1+3+\cdot \cdot \cdot +2(n-1)-3+14+22+\cdot \cdot \cdot +4n+6$

$=\dfrac{\dfrac{n}{2}[-1+2(n-1)-3]}{2}+\dfrac{\dfrac{n}{2}(14+4n+6)}{2}=\dfrac{\dfrac{n}{2}(14+6n)}{2}=\dfrac{n(3n+7)}{2}$ ，

${T}_{n}-{S}_{n}=\dfrac{{n}^{2}-n}{2} > 0$ ，
当

$n$ 为奇数时，

$n > 5$ ，

$T_{n}=T_{n-1}+b_{n}=\dfrac{(n-1)(3n+4)}{2}+2n-3=\dfrac{3{n}^{2}+5n-10}{2}$ ，

$T_{n}-S_{n}=\dfrac{{n}^{2}-3n-10}{2} > \dfrac{25-15-10}{2}=0$ ，
故原式得证．
点评：本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题．

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