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2023年高考数学新高考Ⅱ-17

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（10分）记

$\Delta ABC$ 的内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 的对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，已知

$\Delta ABC$ 面积为

$\sqrt{3}$ ，

$D$ 为

$BC$ 的中点，且

$AD=1$ ．
（1）若

$\angle ADC=\dfrac{\pi }{3}$ ，求

$\tan B$ ；
（2）若

$b^{2}+c^{2}=8$ ，求

$b$ ，

$c$ ．
分析：（1）根据已知条件，推得

$S_{\Delta ACD}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，过

$A$ 作

$AE\bot BC$ ，垂足为

$E$ ，依次求出

$AE$ ，

$BE$ ，即可求解；
（2）根据已知条件，求得

$\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ ，两边同时平方，再结合三角形的面积公式，即可求解．
解：（1）

$)D$ 为

$BC$ 中点，

$S_{\Delta ABC}=\sqrt{3}$ ，
则

$S_{\Delta ACD}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，
过

$A$ 作

$AE\bot BC$ ，垂足为

$E$ ，如图所示：

$\Delta ADE$ 中，

$DE=\dfrac{1}{2}$ ，

$AE=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$S_{\Delta ACD}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}CD=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，解得

$CD=2$ ，

$\therefore BD=2$ ，

$BE=\dfrac{5}{2}$ ，
故

$\tan B=\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{5}$ ；
（2）

$\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ ，

$\overrightarrow{AD}^2=\dfrac{1}{4}(c^2+b^2+2bc\cos A)$ ，

$AD=1$ ，

$b^{2}+c^{2}=8$ ，
则

$1=\dfrac{1}{4}(8+2bc\cos A)$ ，

$\therefore bc\cos A=-2$ ①，

${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\sqrt{3}$ ，即

$bc\sin A=2\sqrt{3}$ ②，
由①②解得

$\tan A=-\sqrt{3}$ ，

$\therefore$

$A=\dfrac{2\pi }{3}$ ，

$\therefore bc=4$ ，又

$b^{2}+c^{2}=8$ ，

$\therefore b=c=2$ ．
点评：本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．

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