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2023年高考数学乙卷-文23

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[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知

$f(x)=2\vert x\vert +\vert x-2\vert$ ．
（1）求不等式

$f(x)\leqslant 6-x$ 的解集；
（2）在直角坐标系

$xOy$ 中，求不等式组

$\left\{{\left.\begin{array}{l}{f(x)\leqslant y}\\ {x+y-6\leqslant 0}\end{array}\right.}\right.$ 所确定的平面区域的面积．
答案：（1）不等式的解集为

$[-2$ ，

$2]$ ．
（2）8．
分析：（1）根据绝对值的意义，表示成分段函数，然后解不等式即可．
（2）作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，根据三角形的面积公式进行求解即可．
解：（1）当

$x\geqslant 2$ 时，

$f(x)=2x+x-2=3x-2$ ，
当

$0 < x < 2$ 时，

$f(x)=2x-x+2=x+2$ ，
当

$x\leqslant 0$ 时，

$f(x)=-2x-x+2=-3x+2$ ，
则当

$x\geqslant 2$ 时，由

$f(x)\leqslant 6-x$ 得

$3x-2\leqslant 6-x$ ，得

$4x\leqslant 8$ ，即

$x\leqslant 2$ ，此时

$x=2$ ．
当

$0 < x < 2$ 时，由

$f(x)\leqslant 6-x$ 得

$x+2\leqslant 6-x$ ，得

$2x < 4$ ，即

$x < 2$ ，此时

$0 < x < 2$ ．
当

$x\leqslant 0$ 时，由

$f(x)\leqslant 6-x$ 得

$-3x+2\leqslant 6-x$ ，得

$2x\geqslant -4$ ，即

$x\geqslant -2$ ，此时

$-2\leqslant x\leqslant 0$ ．
综上

$-2\leqslant x\leqslant 2$ ，即不等式的解集为

$[-2$ ，

$2]$ ．
（2）不等式组

$\left\{{\left.\begin{array}{l}{f(x)\leqslant y}\\ {x+y-6\leqslant 0}\end{array}\right.}\right.$ 等价为

$\left\{\begin{array}{l}{y\geqslant 2\vert x\vert +\vert x-2\vert }\\ {x+y-6\leqslant 0}\end{array}\right.$ ，
作出不等式组对应的平面区域如图：则

$B(0,2)$ ，

$D(0,6)$ ，

由

$\left\{\begin{array}{l}{x+y-6=0}\\ {y=x+2}\end{array}\right.$ ，得

$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\ {y=4}\end{array}\right.$ ，即

$C(2,4)$ ，
由

$\left\{\begin{array}{l}{x+y-6=0}\\ {y=-3x+2}\end{array}\right.$ ，得

$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\ {y=8}\end{array}\right.$ ，即

$A(-2,8)$ ，
则阴影部分的面积

$S=S_{\Delta ABD}+S_{\Delta BCD}=\dfrac{1}{2}\times (6-2)\times 2+\dfrac{1}{2}\times (6-2)\times 2=4+4=8$ ．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及二元一次不等式表示区域，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，是中档题．

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