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2023年高考数学乙卷-文21<-->2023年高考数学乙卷-文23
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系$xOy$中，以坐标原点$O$为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线$C_{1}$的极坐标方程为$\rho =2\sin \theta (\dfrac{\pi }{4}\leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi }{2})$，曲线$C_{2}:\left\{\begin{array}{l}{x=2\cos \alpha }\\ {y=2\sin \alpha }\end{array}\right.(\alpha$为参数，$\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi )$．
（1）写出$C_{1}$的直角坐标方程；
（2）若直线$y=x+m$既与$C_{1}$没有公共点，也与$C_{2}$没有公共点、求$m$的取值范围．
答案：（1）$x^{2}+(y-1)^{2}=1$，$(x\in [0$，$1]$，$y\in [1$，$2])$；（2）$(-\infty ,0)\bigcup (2\sqrt{2},+\infty )$．
分析：（1）直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标坐标方程之间进行转换；
（2）利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求出实数$m$的取值范围．
解：（1）曲线$C_{1}$的极坐标方程为$\rho =2\sin \theta (\dfrac{\pi }{4}\leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi }{2})$，
根据$\left\{\begin{array}{cc}x=\rho \cos \theta &\\ y=\rho \sin \theta &\\ {x}^{2}+{y}^{2}={\rho }^{2}&\end{array}\right.$转换为直角坐标方程为$x^{2}+(y-1)^{2}=1$，
因为$\dfrac{\pi }{4}\leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi }{2}$，$\dfrac{\pi }{2}\leqslant 2\theta \leqslant \pi$，$x=\rho \cos \theta =2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta \in [0$，$1]$，
$y=\rho \sin \theta =2\sin ^{2}\theta =1-\cos 2\theta \in [1$，$2]$，
所以$C_{1}$的直角坐标方程为$x^{2}+(y-1)^{2}=1$，$x\in [0$，$1]$，$y\in [1$，$2]$；
（2）由于曲线$C_{1}$的方程为$x^{2}+(y-1)^{2}=1$，$(0\leqslant x\leqslant 1,1\leqslant y\leqslant 2)$，曲线$C_{2}:\left\{\begin{array}{l}{x=2\cos \alpha }\\ {y=2\sin \alpha }\end{array}\right.(\alpha$为参数，$\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi )$，转换为直角坐标方程为$x^{2}+y^{2}=4$，$(-2 < x < 0,0 < y < 2)$；
如图所示：
由于$y=x$与圆$C_{1}$相交于点$(1,1)$，即$m=0$，
当$m < 0$时，直线$y=x+m$与曲线$C_{1}$没有公共点；
当曲线$C_{2}$与直线$y=x+m$相切时，圆心$C_{2}(0,0)$到直线$y=x+m$的距离$d=\dfrac{\vert m\vert }{\sqrt{2}}=2$，解得$m=2\sqrt{2}$（负值舍去），
由于直线$y=x+m$与曲线$C_{2}$没有公共点，
所以$m > 2\sqrt{2}$，
故直线$y=x+m$既与$C_{1}$没有公共点，也与$C_{2}$没有公共点、实数$m$的取值范围为$(-\infty ,0)\bigcup (2\sqrt{2},+\infty )$．
点评：本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
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