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2023年高考数学乙卷-文22

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[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系

$xOy$ 中，以坐标原点

$O$ 为极点，

$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

$C_{1}$ 的极坐标方程为

$\rho =2\sin \theta (\dfrac{\pi }{4}\leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi }{2})$ ，曲线

$C_{2}:\left\{\begin{array}{l}{x=2\cos \alpha }\\ {y=2\sin \alpha }\end{array}\right.(\alpha$ 为参数，

$\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi )$ ．
（1）写出

$C_{1}$ 的直角坐标方程；
（2）若直线

$y=x+m$ 既与

$C_{1}$ 没有公共点，也与

$C_{2}$ 没有公共点、求

$m$ 的取值范围．
答案：（1）

$x^{2}+(y-1)^{2}=1$ ，

$(x\in [0$ ，

$1]$ ，

$y\in [1$ ，

$2])$ ；（2）

$(-\infty ,0)\bigcup (2\sqrt{2},+\infty )$ ．
分析：（1）直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标坐标方程之间进行转换；
（2）利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求出实数

$m$ 的取值范围．
解：（1）曲线

$C_{1}$ 的极坐标方程为

$\rho =2\sin \theta (\dfrac{\pi }{4}\leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi }{2})$ ，
根据

$\left\{\begin{array}{cc}x=\rho \cos \theta &\\ y=\rho \sin \theta &\\ {x}^{2}+{y}^{2}={\rho }^{2}&\end{array}\right.$ 转换为直角坐标方程为

$x^{2}+(y-1)^{2}=1$ ，
因为

$\dfrac{\pi }{4}\leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi }{2}$ ，

$\dfrac{\pi }{2}\leqslant 2\theta \leqslant \pi$ ，

$x=\rho \cos \theta =2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta \in [0$ ，

$1]$ ，

$y=\rho \sin \theta =2\sin ^{2}\theta =1-\cos 2\theta \in [1$ ，

$2]$ ，
所以

$C_{1}$ 的直角坐标方程为

$x^{2}+(y-1)^{2}=1$ ，

$x\in [0$ ，

$1]$ ，

$y\in [1$ ，

$2]$ ；
（2）由于曲线

$C_{1}$ 的方程为

$x^{2}+(y-1)^{2}=1$ ，

$(0\leqslant x\leqslant 1,1\leqslant y\leqslant 2)$ ，曲线

$C_{2}:\left\{\begin{array}{l}{x=2\cos \alpha }\\ {y=2\sin \alpha }\end{array}\right.(\alpha$ 为参数，

$\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi )$ ，转换为直角坐标方程为

$x^{2}+y^{2}=4$ ，

$(-2 < x < 0,0 < y < 2)$ ；
如图所示：

由于

$y=x$ 与圆

$C_{1}$ 相交于点

$(1,1)$ ，即

$m=0$ ，
当

$m < 0$ 时，直线

$y=x+m$ 与曲线

$C_{1}$ 没有公共点；
当曲线

$C_{2}$ 与直线

$y=x+m$ 相切时，圆心

$C_{2}(0,0)$ 到直线

$y=x+m$ 的距离

$d=\dfrac{\vert m\vert }{\sqrt{2}}=2$ ，解得

$m=2\sqrt{2}$ （负值舍去），
由于直线

$y=x+m$ 与曲线

$C_{2}$ 没有公共点，
所以

$m > 2\sqrt{2}$ ，
故直线

$y=x+m$ 既与

$C_{1}$ 没有公共点，也与

$C_{2}$ 没有公共点、实数

$m$ 的取值范围为

$(-\infty ,0)\bigcup (2\sqrt{2},+\infty )$ ．
点评：本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

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