2023年高考数学乙卷-文16

（5分）已知点

$S$ ，

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 均在半径为2的球面上，

$\Delta ABC$ 是边长为3的等边三角形，

$SA\bot$ 平面

$ABC$ ，则

$SA=$ ____．
答案：2．
分析：先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球及球的性质能求出结果．
解：设

$\Delta ABC$ 的外接圆圆心为

$O_{1}$ ，半径为

$r$ ，
则

$2r=\dfrac{AB}{\sin \angle ACB}=\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$ ，解得

$r=\sqrt{3}$ ，
设三棱锥

$S-ABC$ 的外接球球心为

$O$ ，连接

$OA$ ，

$OO_{1}$ ，

则

$OA=2$ ，

$OO_{1}=\dfrac{1}{2}SA$ ，

$\because$

$O{A}^{2}=O{{O}_{1}}^{2}+{O}_{1}{A}^{2}$ ，

$\therefore 4=3+\dfrac{1}{4}S{A}^{2}$ ，解得

$SA=2$ ．
故答案为：2．
点评：本题考查正弦定理、三角形外接圆半径，直棱柱的外接球及球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

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