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2023年高考数学乙卷-文15<-->2023年高考数学乙卷-文17
（5分）已知点$S$，$A$，$B$，$C$均在半径为2的球面上，$\Delta ABC$是边长为3的等边三角形，$SA\bot$平面$ABC$，则$SA=$____．
答案：2．
分析：先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球及球的性质能求出结果．
解：设$\Delta ABC$的外接圆圆心为$O_{1}$，半径为$r$，
则$2r=\dfrac{AB}{\sin \angle ACB}=\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$，解得$r=\sqrt{3}$，
设三棱锥$S-ABC$的外接球球心为$O$，连接$OA$，$OO_{1}$，
则$OA=2$，$OO_{1}=\dfrac{1}{2}SA$，
$\because$$O{A}^{2}=O{{O}_{1}}^{2}+{O}_{1}{A}^{2}$，$\therefore 4=3+\dfrac{1}{4}S{A}^{2}$，解得$SA=2$．
故答案为：2．
点评：本题考查正弦定理、三角形外接圆半径，直棱柱的外接球及球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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