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2023年高考数学乙卷-理4

(5分)已知$f(x)=\dfrac{x{e^x}}{{e^{ax}}-1}$是偶函数,则$a=($  $)$
A.$-2$              B.$-1$              C.1              D.2
答案:$D$
分析:根据偶函数的性质,运算即可得解.
解:$\because f(x)=\dfrac{x{e^x}}{{e^{ax}}-1}$的定义域为$\{x\vert x\ne 0\}$,又$f(x)$为偶函数,
$\therefore f(-x)=f(x)$,
$\therefore$$\dfrac{-x{e}^{-x}}{{e}^{-ax}-1}=\dfrac{x{e}^{x}}{{e}^{ax}-1}$,
$\therefore$$\dfrac{x{e}^{ax-x}}{{e}^{ax}-1}=\dfrac{x{e}^{x}}{{e}^{ax}-1}$,
$\therefore ax-x=x$,$\therefore a=2$.
故选:$D$.
点评:本题考查偶函数的性质,化归转化思想,属基础题.
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