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2023年高考数学北京18<-->2023年高考数学北京20
（15分）已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$的离心率为$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，$A$、$C$分别为$E$的上、下顶点，$B$、$D$分别为$E$的左、右顶点，$\vert AC\vert =4$．
（1）求$E$的方程；
（2）点$P$为第一象限内$E$上的一个动点，直线$PD$与直线$BC$交于点$M$，直线$PA$与直线$y=-2$交于点$N$．求证：$MN//CD$．
答案：（1）$\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）见证明过程．
分析：（1）由题意可得：$2b=4$，$e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}=\dfrac{\;c}{a}$，$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，解得$b$，$a^{2}$，即可得出椭圆$E$的方程．
（2）利用截距式可得直线$BC$的方程，设直线$AP$的方程为：$y=kx+2$，$(k < 0)$，可得$N$坐标，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，解得$P$坐标，利用直线$PD$方程与$BC$方程可得$M$坐标$M$，利用斜率计算公式可得$k_{MN}$，$k_{CD}$，进而证明结论．
解：（1）由题意可得：$2b=4$，$e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}=\dfrac{\;c}{a}$，$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，
解得$b=2$，$a^{2}=9$，
$\therefore$椭圆$E$的方程为$\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）证明：$A(0,2)$，$B(-3,0)$，$C(0,-2)$，$D(3,0)$，
直线$BC$的方程为$\dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{-2}=1$，化为$2x+3y+6=0$．
设直线$AP$的方程为：$y=kx+2$，$(k < 0)$，$\therefore N(\dfrac{-4}{\;k}$，$-2)$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为：$(4+9k^{2})x^{2}+36kx=0$，
解得$x=0$或$-\dfrac{36k}{4+9{k}^{2}}$，
$\therefore P(-\dfrac{36k}{4+9{k}^{2}}$，$\dfrac{8-18{k}^{2}}{4+9{k}^{2}})$．
直线$PD$方程为：$y=\dfrac{\dfrac{18{k}^{2}-8}{4+9{k}^{2}}}{3+\dfrac{36k}{4+9{k}^{2}}}(x-3)$，即$y=\dfrac{18{k}^{2}-8}{27{k}^{2}+36k+12}(x-3)$，
与$2x+3y+6=0$联立，解得$x=\dfrac{-6k-4}{3{k}^{2}+2k}$，$y=\dfrac{8-18{k}^{2}}{9{k}^{2}+6k}$．
$\therefore M(\dfrac{-6k-4}{3{k}^{2}+2k}$，$\dfrac{8-18{k}^{2}}{9{k}^{2}+6k})$．
$\therefore k_{MN}=\dfrac{\dfrac{8-18{k}^{2}}{9{k}^{2}+6k}+2}{\dfrac{4}{k}-\dfrac{6k+4}{3{k}^{2}+2k}}=\dfrac{2}{3}$，
$k_{CD}=\dfrac{2}{3}$，
$\therefore MN//CD$．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及性质、直线交点问题、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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