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2022年高考数学浙江13<-->2022年高考数学浙江15
（6分）已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{-{x^2}+2,x\leqslant 1,}\\ {x+\dfrac{1}{x}-1,x > 1,}\end{array}\right.$则$f(f(\dfrac{1}{2}))=$ $\dfrac{37}{28}$ ；若当$x\in [a$，$b]$时，$1\leqslant f(x)\leqslant 3$，则$b-a$的最大值是 ．
分析：直接由分段函数解析式求$f(f(\dfrac{1}{2}))$；画出函数$f(x)$的图象，数形结合得答案．
解：$\because$函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2,x\leqslant 1}\\ {x+\dfrac{1}{x}-1,x > 1}\end{array}\right.$，$\therefore f(\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{4}+2=\dfrac{7}{4}$，
$\therefore f(f(\dfrac{1}{2}))=f(\dfrac{7}{4})=\dfrac{7}{4}+\dfrac{4}{7}-1=\dfrac{37}{28}$；
作出函数$f(x)$的图象如图：
由图可知，若当$x\in [a$，$b]$时，$1\leqslant f(x)\leqslant 3$，则$b-a$的最大值是$2+\sqrt{3}-(-1)=3+\sqrt{3}$．
故答案为：$\dfrac{37}{28}$；$3+\sqrt{3}$．
点评：本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．
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