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2022年高考数学新高考Ⅰ-21<-->返回列表
（12分）已知函数$f(x)=e^{x}-ax$和$g(x)=ax-\ln x$有相同的最小值．
（1）求$a$；
（2）证明：存在直线$y=b$，其与两条曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
分析：（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数$f(x)$和$g(x)$的单调性，从而求得$f'(x)$和$g'(x)$的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得$a$的值；
（2）由$a$的值可求得函数$f(x)$与函数$g(x)$的表达式，对函数$f(x)$与函数$g(x)$在$(0,+\infty )$上的大小进行比较，可作出曲线函数$y=f(x)$和$y=g(x)$的大致图象，根据该图象可确定直线$y=b$的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可．
解：（1）$f(x)$定义域为$R$，
$\because f(x)=e^{x}-ax$，
$\therefore f'(x)=e^{x}-a$，
若$a\leqslant 0$，
则$f'(x) > 0$，$f(x)$无最小值，
故$a > 0$，
当$f'(x)=0$时，$x=\ln a$，当$g'(x)=0$时，$x=\dfrac{1}{a}$，
当$x < \ln a$时，$f'(x) < 0$，函数$f(x)$在$(-\infty ,\ln a)$上单调递减，
当$x > \ln a$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$在$(\ln a,+\infty )$上单调递增，
故$f(x)_{min}=f(\ln a)=a-a\ln a$，
$g(x)$的定义域为$(0,+\infty )$，
$\because g(x)=ax-\ln x$，
$\therefore g'(x)=a-\dfrac{1}{x}$，
令$g'(x)=0$，解得$x=\dfrac{1}{a}$，
当$0 < x < \dfrac{1}{a}$时，$g'(x) < 0$，函数$g(x)$在$(0,\dfrac{1}{a})$上单调递减，
当$x > \dfrac{1}{a}$时，$g'(x) > 0$，函数$g(x)$在$(\dfrac{1}{a}$，$+\infty )$上单调递增，
故$g(x)_{min}=1+\ln a$，
$\because$函数$f(x)=e^{x}-ax$和$g(x)=ax-\ln x$有相同的最小值
$\therefore a-a\ln a=1+\ln a$，
$\because a > 0$，
$\therefore a-a\ln a=1+\ln a$化为$\ln a-\dfrac{a-1}{a+1}=0$，
令$h(x)=\ln x-\dfrac{x-1}{x+1}$，$x > 0$，
则$h'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x+1-(x-1)}{(x+1)^{2}}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{(x+1)^{2}}=\dfrac{{x}^{2}+1}{x(x+1)^{2}}$，
$\because x > 0$，
$\therefore h'(x)=\dfrac{{x}^{2}+1}{x(x+1)^{2}} > 0$恒成立，
$\therefore h(x)$在$(0,+\infty )$上单调递增，
又$\because h$（1）$=0$，
$\therefore h$（a）$=h$（1），仅有此一解，
$\therefore a=1$．
（2）证明：由（1）知$a=1$，函数$f(x)=e^{x}-x$在$(-\infty ,0)$上单调递减，在$(0,+\infty )$上单调递增，
函数$g(x)=x-\ln x$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty )$上单调递增，
设$u(x)=f(x)-g(x)=e^{x}-2x+\ln x(x > 0)$，
则$u\prime (x)=e^{x}-2+\dfrac{1}{x} > e^{x}-2$，当$x\geqslant 1$时，$u\prime (x)\geqslant e-2 > 0$，
所以函数$u(x)$在$(1,+\infty )$上单调递增，因为$u$（1）$=e-2 > 0$，
所以当$x\geqslant 1$时，$u(x)\geqslant u$（1）$ > 0$恒成立，即$f(x)-g(x) > 0$在$x\geqslant 1$时恒成立，
所以$x\geqslant 1$时，$f(x) > g(x)$，
因为$f(0)=1$，函数$f(x)$在$(0,+\infty )$上单调递增，$g$（1）$=1$，函数$g(x)$在$(0,1)$上单调递减，
所以函数$f(x)$与函数$g(x)$的图象在$(0,1)$上存在唯一交点，设该交点为$(m$，$f(m))(0 < m < 1)$，
此时可作出函数$y=f(x)$和$y=g(x)$的大致图象，
由图象知当直线$y=b$与两条曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$共有三个不同的交点时，
直线$y=b$必经过点$M(m$，$f(m))$，即$b=f(m)$，
因为$f(m)=g(m)$，所以$e^{m}-m=m-\ln m$，即$e^{m}-2m+\ln m=0$，
令$f(x)=b=f(m)$得$e^{x}-x=e^{m}-m=m-\ln m$，解得$x=m$或$x=\ln m$，由$0 < m < 1$，得$\ln m < 0 < m$，
令$g(x)=b=f(m)$得$x-\ln x=e^{m}-m=m-\ln m$，解得$x=m$或$x=e^{m}$，由$0 < m < 1$，得$m < 1 < e^{m}$，
所以当直线$y=b$与两条曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，$\ln m$，$m$，$e^{m}$，
因为$e^{m}-2m+\ln m=0$，所以$e^{m}+\ln m=2m$，
所以$\ln m$，$m$，$e^{m}$成等差数列．
$\therefore$存在直线$y=b$，其与两条曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
点评：本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得$x_{1}$、$x_{3}$和$x_{2}$的数量关系．
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