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2022年高考数学新高考Ⅰ-22

  2022-12-15 16:33:42  

(12分)已知函数f(x)=exaxg(x)=axlnx有相同的最小值.
(1)求a
(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
分析:(1)先对两个函数求导,然后由函数有相同的最小值得到函数f(x)g(x)的单调性,从而求得f(x)g(x)的零点,进而得到函数的最小值,然后列出方程求得a的值;
(2)由a的值可求得函数f(x)与函数g(x)的表达式,对函数f(x)与函数g(x)(0,+)上的大小进行比较,可作出曲线函数y=f(x)y=g(x)的大致图象,根据该图象可确定直线y=b的位置,分别求出三个交点的横坐标的表达式后,证明其成等差数列即可.
解:(1)f(x)定义域为R
f(x)=exax
f(x)=exa
a
f'(x) > 0f(x)无最小值,
a > 0
f'(x)=0时,x=\ln a,当g'(x)=0时,x=\dfrac{1}{a}
x < \ln a时,f'(x) < 0,函数f(x)(-\infty ,\ln a)上单调递减,
x > \ln a时,f'(x) > 0,函数f(x)(\ln a,+\infty )上单调递增,
f(x)_{min}=f(\ln a)=a-a\ln a
g(x)的定义域为(0,+\infty )
\because g(x)=ax-\ln x
\therefore g'(x)=a-\dfrac{1}{x}
g'(x)=0,解得x=\dfrac{1}{a}
0 < x < \dfrac{1}{a}时,g'(x) < 0,函数g(x)(0,\dfrac{1}{a})上单调递减,
x > \dfrac{1}{a}时,g'(x) > 0,函数g(x)(\dfrac{1}{a}+\infty )上单调递增,
g(x)_{min}=1+\ln a
\because函数f(x)=e^{x}-axg(x)=ax-\ln x有相同的最小值
\therefore a-a\ln a=1+\ln a
\because a > 0
\therefore a-a\ln a=1+\ln a化为\ln a-\dfrac{a-1}{a+1}=0
h(x)=\ln x-\dfrac{x-1}{x+1}x > 0
h'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x+1-(x-1)}{(x+1)^{2}}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{(x+1)^{2}}=\dfrac{{x}^{2}+1}{x(x+1)^{2}}
\because x > 0
\therefore h'(x)=\dfrac{{x}^{2}+1}{x(x+1)^{2}} > 0恒成立,
\therefore h(x)(0,+\infty )上单调递增,
\because h(1)=0
\therefore h(a)=h(1),仅有此一解,
\therefore a=1
(2)证明:由(1)知a=1,函数f(x)=e^{x}-x(-\infty ,0)上单调递减,在(0,+\infty )上单调递增,
函数g(x)=x-\ln x(0,1)上单调递减,在(1,+\infty )上单调递增,
u(x)=f(x)-g(x)=e^{x}-2x+\ln x(x > 0)
u\prime (x)=e^{x}-2+\dfrac{1}{x} > e^{x}-2,当x\geqslant 1时,u\prime (x)\geqslant e-2 > 0
所以函数u(x)(1,+\infty )上单调递增,因为u(1)=e-2 > 0
所以当x\geqslant 1时,u(x)\geqslant u(1) > 0恒成立,即f(x)-g(x) > 0x\geqslant 1时恒成立,
所以x\geqslant 1时,f(x) > g(x)
因为f(0)=1,函数f(x)(0,+\infty )上单调递增,g(1)=1,函数g(x)(0,1)上单调递减,
所以函数f(x)与函数g(x)的图象在(0,1)上存在唯一交点,设该交点为(mf(m))(0 < m < 1)
此时可作出函数y=f(x)y=g(x)的大致图象,

由图象知当直线y=b与两条曲线y=f(x)y=g(x)共有三个不同的交点时,
直线y=b必经过点M(mf(m)),即b=f(m)
因为f(m)=g(m),所以e^{m}-m=m-\ln m,即e^{m}-2m+\ln m=0
f(x)=b=f(m)e^{x}-x=e^{m}-m=m-\ln m,解得x=mx=\ln m,由0 < m < 1,得\ln m < 0 < m
g(x)=b=f(m)x-\ln x=e^{m}-m=m-\ln m,解得x=mx=e^{m},由0 < m < 1,得m < 1 < e^{m}
所以当直线y=b与两条曲线y=f(x)y=g(x)共有三个不同的交点时,
从左到右的三个交点的横坐标依次为,\ln mme^{m}
因为e^{m}-2m+\ln m=0,所以e^{m}+\ln m=2m
所以\ln mme^{m}成等差数列.
\therefore存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
点评:本题考查了导数的应用,利用导数求函数的单调性,函数的零点,解题的关键是利用函数的单调性求得x_{1}x_{3}x_{2}的数量关系.

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