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2022年高考数学新高考Ⅰ-10<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-12
（5分）已知$O$为坐标原点，点$A(1,1)$在抛物线$C:x^{2}=2py(p > 0)$上，过点$B(0,-1)$的直线交$C$于$P$，$Q$两点，则( )
A．$C$的准线为$y=-1$ B．直线$AB$与$C$相切
C．$\vert OP\vert \cdot \vert OQ\vert > \vert OA\vert ^{2}$ D．$\vert BP\vert \cdot \vert BQ\vert > \vert BA\vert ^{2}$
分析：对于$A$，根据题意求得$p$的值，进而得到准线；对于$B$，求出直线$AB$方程，联立直线$AB$与抛物线方程即可得出结论；对于$C$，设过点$B$的直线方程为$y=kx-1(k > 2)$，联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两根之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项$CD$．
解：$\because$点$A(1,1)$在抛物线$C:x^{2}=2py(p > 0)$上，
$\therefore 2p=1$，解得$p=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore$抛物线$C$的方程为$x^{2}=y$，准线方程为$y=-\dfrac{1}{4}$，选项$A$错误；
由于$A(1,1)$，$B(0,-1)$，则${k}_{AB}=\dfrac{1-(-1)}{1-0}=2$，直线$AB$的方程为$y=2x-1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\ {{x}^{2}=y}\end{array}\right.$，可得$x^{2}-2x+1=0$，解得$x=1$，故直线$AB$与抛物线$C$相切，选项$B$正确；
根据对称性及选项$B$的分析，不妨设过点$B$的直线方程为$y=kx-1(k > 2)$，与抛物线在第一象限交于$P(x_{1}$，$y_{1})$，$Q(x_{2}$，$y_{2})$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\ {y={x}^{2}}\end{array}\right.$，消去$y$并整理可得$x^{2}-kx+1=0$，则$x_{1}+x_{2}=k$，$x_{1}x_{2}=1$，${y}_{1}{y}_{2}=(k{x}_{1}-1)(k{x}_{2}-1)={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-k({x}_{1}+{x}_{2})+1=1$，
$\vert OP\vert \cdot \vert OQ\vert =\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}\geqslant \sqrt{2{x}_{1}{y}_{1}}\cdot \sqrt{2{x}_{2}{y}_{2}}=2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}{y}_{2}}=2=\vert OA{\vert }^{2}$，由于等号在$x_{1}=x_{2}=y_{1}=y_{2}=1$时才能取到，故等号不成立，选项$C$正确；
$\vert BP\vert \vert BQ\vert =\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+({y}_{1}+1)^{2}}\cdot \sqrt{{{x}_{2}}^{2}+({y}_{2}+1)^{2}} > \sqrt{{{x}_{1}}^{2}+4{y}_{1}}\cdot \sqrt{{x}_{2}^{2}+4{y}_{2}}=\sqrt{5{{x}_{1}}^{2}}\cdot \sqrt{5{{x}_{2}}^{2}}=5\sqrt{{(x}_{1}{x}_{2})^{2}}=5=\vert BA{\vert }^{2}$，选项$D$正确．
故选：$BCD$．
点评：本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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