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2022年高考数学新高考Ⅰ-10

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（5分）已知函数

$f(x)=x^{3}-x+1$ ，则(　　)
A．

$f(x)$ 有两个极值点
B．

$f(x)$ 有三个零点
C．点

$(0,1)$ 是曲线

$y=f(x)$ 的对称中心
D．直线

$y=2x$ 是曲线

$y=f(x)$ 的切线
分析：对函数

$f(x)$ 求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项

$AB$ ；由

$f(x)+f(-x)=2$ ，可判断选项

$C$ ；假设

$y=2x$ 是曲线

$y=f(x)$ 的切线，设切点为

$(a,b)$ ，求出

$a$ ，

$b$ 的值，验证点

$(a,b)$ 是否在曲线

$y=f(x)$ 上即可．
解：

$f\prime (x)=3x^{2}-1$ ，令

$f\prime (x) > 0$ ，解得

$x < -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 或

$x > \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，令

$f\prime (x) < 0$ ，解得

$-\dfrac{\sqrt{3}}{3} < x < \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，

$\therefore f(x)$ 在

$(-\infty ,-\dfrac{\sqrt{3}}{3}),(\dfrac{\sqrt{3}}{3},+\infty )$ 上单调递增，在

$(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3})$ 上单调递减，且

$f(-\dfrac{\sqrt{3}}{3})=\dfrac{2\sqrt{3}+9}{9} > 0,f(\dfrac{\sqrt{3}}{3})=\dfrac{9-2\sqrt{3}}{9} > 0$ ，

$\therefore f(x)$ 有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项

$A$ 正确，选项

$B$ 错误；
又

$f(x)+f(-x)=x^{3}-x+1-x^{3}+x+1=2$ ，则

$f(x)$ 关于点

$(0,1)$ 对称，故选项

$C$ 正确；
假设

$y=2x$ 是曲线

$y=f(x)$ 的切线，设切点为

$(a,b)$ ，则

$\left\{\begin{array}{l}{3{a}^{2}-1=2}\\ {2a=b}\end{array}\right.$ ，解得

$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\ {b=2}\end{array}\right.$ 或

$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\ {b=-2}\end{array}\right.$ ，
显然

$(1,2)$ 和

$(-1,-2)$ 均不在曲线

$y=f(x)$ 上，故选项

$D$ 错误．
故选：

$AC$ ．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．

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