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2022年高考数学新高考Ⅰ-9<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-11
（5分）已知函数$f(x)=x^{3}-x+1$，则( )
A．$f(x)$有两个极值点
B．$f(x)$有三个零点
C．点$(0,1)$是曲线$y=f(x)$的对称中心
D．直线$y=2x$是曲线$y=f(x)$的切线
分析：对函数$f(x)$求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项$AB$；由$f(x)+f(-x)=2$，可判断选项$C$；假设$y=2x$是曲线$y=f(x)$的切线，设切点为$(a,b)$，求出$a$，$b$的值，验证点$(a,b)$是否在曲线$y=f(x)$上即可．
解：$f\prime (x)=3x^{2}-1$，令$f\prime (x) > 0$，解得$x < -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$或$x > \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，令$f\prime (x) < 0$，解得$-\dfrac{\sqrt{3}}{3} < x < \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore f(x)$在$(-\infty ,-\dfrac{\sqrt{3}}{3}),(\dfrac{\sqrt{3}}{3},+\infty )$上单调递增，在$(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3})$上单调递减，且$f(-\dfrac{\sqrt{3}}{3})=\dfrac{2\sqrt{3}+9}{9} > 0,f(\dfrac{\sqrt{3}}{3})=\dfrac{9-2\sqrt{3}}{9} > 0$，
$\therefore f(x)$有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项$A$正确，选项$B$错误；
又$f(x)+f(-x)=x^{3}-x+1-x^{3}+x+1=2$，则$f(x)$关于点$(0,1)$对称，故选项$C$正确；
假设$y=2x$是曲线$y=f(x)$的切线，设切点为$(a,b)$，则$\left\{\begin{array}{l}{3{a}^{2}-1=2}\\ {2a=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\ {b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\ {b=-2}\end{array}\right.$，
显然$(1,2)$和$(-1,-2)$均不在曲线$y=f(x)$上，故选项$D$错误．
故选：$AC$．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
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