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2022年高考数学新高考Ⅰ-6<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-8
（5分）设$a=0.1e^{0.1}$，$b=\dfrac{1}{9}$，$c=-\ln 0.9$，则( )
A．$a < b < c$ B．$c < b < a$ C．$c < a < b$ D．$a < c < b$
分析：构造函数$f(x)=\ln x+\dfrac{1}{x}$，$x > 0$，
设$g(x)=xe^{x}+\ln (1-x)(0 < x < 1)$，
则${g}'(x)=(x+1){e}^{x}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{({x}^{2}-1){e}^{x}+1}{x-1}$，
令$h(x)=e^{x}(x^{2}-1)+1$，$h\prime (x)=e^{x}(x^{2}+2x-1)$，利用导数性质由此能求出结果．
解：构造函数$f(x)=\ln x+\dfrac{1}{x}$，$x > 0$，
则$f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{{x}^{2}}$，$x > 0$，
当$f'(x)=0$时，$x=1$，
$0 < x < 1$时，$f\prime (x) < 0$，$f(x)$单调递减；
$x > 1$时，$f\prime (x) > 0$，$f(x)$单调递增，
$\therefore f(x)$在$x=1$处取最小值$f$（1）$=1$，
$\therefore$$\ln x > 1-\dfrac{1}{x}$，
$\therefore \ln 0.9 > 1-\dfrac{1}{0.9}=-\dfrac{1}{9}$，$\therefore -\ln 0.9 < \dfrac{1}{9}$，$\therefore c < b$；
$\because -\ln 0.9=\ln \dfrac{10}{9} > 1-\dfrac{9}{10}=\dfrac{1}{10}$，$\therefore$$\dfrac{10}{9} > {e}^{0.1}$，
$\therefore 0.1e^{0.1} < \dfrac{1}{9}$，$\therefore a < b$；
设$g(x)=xe^{x}+\ln (1-x)(0 < x < 1)$，
则${g}'(x)=(x+1){e}^{x}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{({x}^{2}-1){e}^{x}+1}{x-1}$，
令$h(x)=e^{x}(x^{2}-1)+1$，$h\prime (x)=e^{x}(x^{2}+2x-1)$，
当$0 < x < \sqrt{2}-1$时，$h\prime (x) < 0$，函数$h(x)$单调递减，
当$\sqrt{2}-1 < x < 1$时，$h\prime (x) > 0$，函数$h(x)$单调递增，
$\because h(0)=0$，$\therefore$当$0 < x < \sqrt{2}-1$时，$h(x) < 0$，
当$0 < x < \sqrt{2}-1$时，$g\prime (x) > 0$，$g(x)=xe^{x}+\ln (1-x)$单调递增，
$\therefore g(0.1) > g(0)=0$，$\therefore 0.1e^{0.1} > -\ln 0.9$，$\therefore a > c$，
$\therefore c < a < b$．
故选：$C$．
点评：本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
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