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2022年高考数学新高考Ⅰ-7

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（5分）设

$a=0.1e^{0.1}$ ，

$b=\dfrac{1}{9}$ ，

$c=-\ln 0.9$ ，则(　　)
A．

$a < b < c$ B．

$c < b < a$ C．

$c < a < b$ D．

$a < c < b$
分析：构造函数

$f(x)=\ln x+\dfrac{1}{x}$ ，

$x > 0$ ，
设

$g(x)=xe^{x}+\ln (1-x)(0 < x < 1)$ ，
则

${g}'(x)=(x+1){e}^{x}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{({x}^{2}-1){e}^{x}+1}{x-1}$ ，
令

$h(x)=e^{x}(x^{2}-1)+1$ ，

$h\prime (x)=e^{x}(x^{2}+2x-1)$ ，利用导数性质由此能求出结果．
解：构造函数

$f(x)=\ln x+\dfrac{1}{x}$ ，

$x > 0$ ，
则

$f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{{x}^{2}}$ ，

$x > 0$ ，
当

$f'(x)=0$ 时，

$x=1$ ，

$0 < x < 1$ 时，

$f\prime (x) < 0$ ，

$f(x)$ 单调递减；

$x > 1$ 时，

$f\prime (x) > 0$ ，

$f(x)$ 单调递增，

$\therefore f(x)$ 在

$x=1$ 处取最小值

$f$ （1）

$=1$ ，

$\therefore$

$\ln x > 1-\dfrac{1}{x}$ ，

$\therefore \ln 0.9 > 1-\dfrac{1}{0.9}=-\dfrac{1}{9}$ ，

$\therefore -\ln 0.9 < \dfrac{1}{9}$ ，

$\therefore c < b$ ；

$\because -\ln 0.9=\ln \dfrac{10}{9} > 1-\dfrac{9}{10}=\dfrac{1}{10}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{10}{9} > {e}^{0.1}$ ，

$\therefore 0.1e^{0.1} < \dfrac{1}{9}$ ，

$\therefore a < b$ ；
设

$g(x)=xe^{x}+\ln (1-x)(0 < x < 1)$ ，
则

${g}'(x)=(x+1){e}^{x}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{({x}^{2}-1){e}^{x}+1}{x-1}$ ，
令

$h(x)=e^{x}(x^{2}-1)+1$ ，

$h\prime (x)=e^{x}(x^{2}+2x-1)$ ，
当

$0 < x < \sqrt{2}-1$ 时，

$h\prime (x) < 0$ ，函数

$h(x)$ 单调递减，
当

$\sqrt{2}-1 < x < 1$ 时，

$h\prime (x) > 0$ ，函数

$h(x)$ 单调递增，

$\because h(0)=0$ ，

$\therefore$ 当

$0 < x < \sqrt{2}-1$ 时，

$h(x) < 0$ ，
当

$0 < x < \sqrt{2}-1$ 时，

$g\prime (x) > 0$ ，

$g(x)=xe^{x}+\ln (1-x)$ 单调递增，

$\therefore g(0.1) > g(0)=0$ ，

$\therefore 0.1e^{0.1} > -\ln 0.9$ ，

$\therefore a > c$ ，

$\therefore c < a < b$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．

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