2022年高考数学新高考Ⅰ-6

（5分）记函数

$f(x)=\sin (\omega x+\dfrac{\pi }{4})+b(\omega > 0)$ 的最小正周期为

$T$ ．若

$\dfrac{2\pi }{3} < T < \pi$ ，且

$y=f(x)$ 的图像关于点

$(\dfrac{3\pi }{2}$ ，

$2)$ 中心对称，则

$f(\dfrac{\pi }{2})=($ 　　)
A．1 B．

$\dfrac{3}{2}$ C．

$\dfrac{5}{2}$ D．3
分析：由周期范围求得

$\omega$ 的范围，由对称中心求解

$\omega$ 与

$b$ 值，可得函数解析式，则

$f(\dfrac{\pi }{2})$ 可求．
解：函数

$f(x)=\sin (\omega x+\dfrac{\pi }{4})+b(\omega > 0)$ 的最小正周期为

$T$ ，
则

$T=\dfrac{2\pi }{\omega }$ ，由

$\dfrac{2\pi }{3} < T < \pi$ ，得

$\dfrac{2\pi }{3} < \dfrac{2\pi }{\omega } < \pi$ ，

$\therefore 2 < \omega < 3$ ，

$\because y=f(x)$ 的图像关于点

$(\dfrac{3\pi }{2}$ ，

$2)$ 中心对称，

$\therefore b=2$ ，
且

$\sin (\dfrac{3\pi }{2}\omega +\dfrac{\pi }{4})=0$ ，则

$\dfrac{3\pi }{2}\omega +\dfrac{\pi }{4}=k\pi$ ，

$k\in Z$ ．

$\therefore$

$\omega =\dfrac{2}{3}(k-\dfrac{1}{4})$ ，

$k\in Z$ ，取

$k=4$ ，可得

$\omega =\dfrac{5}{2}$ ．

$\therefore f(x)=\sin (\dfrac{5}{2}x+\dfrac{\pi }{4})+2$ ，则

$f(\dfrac{\pi }{2})=\sin (\dfrac{5}{2}\times \dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi }{4})+2=-1+2=1$ ．
故选：

$A$ ．
点评：本题考查

$y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．

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