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2022年高考数学上海20<-->返回列表
（18分）数列$\{a_{n}\}$对任意$n\in N^{*}$且$n\geqslant 2$，均存在正整数$i\in [1$，$n-1]$，满足$a_{n+1}=2a_{n}-a_{i}$，$a_{1}=1$，$a_{2}=3$．
（1）求$a_{4}$可能值；
（2）命题$p$：若$a_{1}$，$a_{2}$，$\dotsb$，$a_{8}$成等差数列，则$a_{9} < 30$，证明$p$为真，同时写出$p$逆命题$q$，并判断命题$q$是真是假，说明理由；
（3）若$a_{2m}=3^{m}$，$(m\in N^{*})$成立，求数列$\{a_{n}\}$的通项公式．
分析：（1）利用递推关系式可得$a_{3}=5$，然后计算$a_{4}$的值即可；
（2）由题意可得$a_{n}=2{n}-1({n}\in [1,8],{n}\in {N}^{*})$，则$a_{9}=2a_{8}-a_{i} < 30$，从而命题为真命题，给出反例可得命题$q$为假命题．
（3）由题意可得$a_{2m+2}=2a_{2m+1}-a_{i}(i\leqslant 2m)$，$a_{2m+1}=2a_{2m}-a_{j}(j\leqslant 2m-1)$，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式．
解：（1）$a_{3}=2a_{2}-a_{1}=5$，$a_{4}=2a_{3}-a_{2}=7$或$a_{4}=2a_{3}-a_{1}=9$．
（2）$\because a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$，$a_{5}$，$a_{6}$，$a_{7}$，$a_{8}$为等差数列，$\therefore$${d}=2,a_{n}=2{n}-1({n}\in [1,8],{n}\in {N}^{*})$，
$a_{9}=2a_{8}-a_{i}=30-a_{i} < 30$．
逆命题$q$：若$a_{9} < 30$，则$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$，$a_{5}$，$a_{6}$，$a_{7}$，$a_{8}$为等差数列是假命题，举例：
$a_{1}=1$，$a_{2}=3$，$a_{3}=5$，$a_{4}=7$，$a_{5}=9$，$a_{6}=11$，$a_{7}=13$，$a_{8}=2a_{7}-a_{5}=17$，$a_{9}=2a_{8}-a_{7}=21$．
（3）因为$a_{2m}=3^{m}$，
$\therefore$$a_{2m+2}=3^{m+1},a_{2m+2}=2a_{2m+1}-a_{i}(i\leqslant 2m)$，$a_{2m+1}=2a_{2m}-a_{j}(j\leqslant 2m-1)$，
$\therefore a_{2m+2}=4a_{2m}-2a_{j}-a_{i}$，
$\therefore$$2a_{j}+a_{i}=4a_{2m}-a_{2m+2}=4\times 3^{m}-3^{m+1}=3^{m}=a_{2m}$，
以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明$a_{n+1} > a_{n}$恒成立：
当$n=1$，$a_{2} > a_{1}$明显成立，
假设$n=k$时命题成立，即$a_{k} > a_{k-1} > a_{k-1}\dotsb > > a_{2} > a_{1} > 0$，
则$a_{k+1}-a_{k}=2a_{k}-a_{i}-a_{k}=a_{k}-a_{i} > 0$，则$a_{k+1} > a_{k}$，命题得证．
回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：
1．若$j=2$$m-1$，则$a_{2m}=2a_{j}+a_{i}=2a_{2m-1}+a_{i} > a_{2m-1}-a_{i}$矛盾，
2．若$j=2$$m-2$，则$a_{j}=3^{m-1}$，$\therefore$$a_{i}=3^{m}-2a_{j}=3^{m-1}$，$\therefore i=2m-2$，
此时$a_{2m+1}=2a_{2m}-a_{j}=2\times 3^{m}-3^{m-1}=5\times 3^{m-1}$，
$\therefore$$a_{n}=\left\{\begin{array}{cc}{1}&{n=1}\\ {5\times 3^{\frac{n-3}{2}}}&{n=2k+1,k\in N^{*}}\\ {3^{\frac{n}{2}}}&{n=2k,k\in N^{*}}\end{array}\right.$，
3．若$j < 2$$m-2$，则$2a_{j} < 2\times 3^{m-1}$，
$\therefore$$a_{i}=3^{m}-2a_{j} > 3^{m-1}$，$\therefore j=2m-1$，
$\therefore a_{2m+2}=2a_{2m+1}-a_{2m-1}$（由（2）知对任意$m$成立），
$a_{6}=2a_{5}-a_{3}$，
事实上：$a_{6}=2a_{5}-a_{2}$矛盾．
综上可得$a_{n}=\left\{\begin{array}{cc}{1}&{n=1}\\ {5\times 3^{\frac{n-3}{2}}}&{n=2k+1,k\in N^{*}}\\ {3^{\frac{n}{2}}}&{n=2k,k\in N^{*}}\end{array}\right.$．
点评：本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的推理问题，数列通项公式的求解等知识，属于难题．
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