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2022年高考数学上海9<-->2022年高考数学上海11
（5分）已知等差数列$\{a_{n}\}$的公差不为零，$S_{n}$为其前$n$项和，若$S_{5}=0$，则$S_{i}(i=0$，1，2，$\ldots$，$100)$中不同的数值有 98 个．
分析：由等差数前$n$项和公式求出$a_{1}=-2d$，从而$S_{n}=\dfrac{d}{2}(n^{2}-5n)$，由此能求出结果．
解：$\because$等差数列$\{a_{n}\}$的公差不为零，$S_{n}$为其前$n$项和，$S_{5}=0$，
$\therefore$${S}_{5}=5{a}_{1}+\dfrac{5\times 4}{2}d=0$，解得$a_{1}=-2d$，
$\therefore S_{n}=na_{1}+\dfrac{n(n-1)}{2}d=-2nd+\dfrac{n(n-1)}{2}d=\dfrac{d}{2}(n^{2}-5n)$，
$\because d\ne 0$，$\therefore S_{i}(i=0$，1，$2\dotsb$，$100)$中$S_{0}=S_{5}=0$，
$S_{2}=S_{3}=-3d$，$S_{1}=S_{4}=-2d$，
其余各项均不相等，
$\therefore S_{i}(i=0$，1，$2\dotsb$，$100)$中不同的数值有：$101-3=98$．
故答案为：98．
点评：本题考查等差数列的前$n$项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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