2022年高考数学上海10

（5分）已知等差数列

$\{a_{n}\}$ 的公差不为零，

$S_{n}$ 为其前

$n$ 项和，若

$S_{5}=0$ ，则

$S_{i}(i=0$ ，1，2，

$\ldots$ ，

$100)$ 中不同的数值有　98　个．
分析：由等差数前

$n$ 项和公式求出

$a_{1}=-2d$ ，从而

$S_{n}=\dfrac{d}{2}(n^{2}-5n)$ ，由此能求出结果．
解：

$\because$ 等差数列

$\{a_{n}\}$ 的公差不为零，

$S_{n}$ 为其前

$n$ 项和，

$S_{5}=0$ ，

$\therefore$

${S}_{5}=5{a}_{1}+\dfrac{5\times 4}{2}d=0$ ，解得

$a_{1}=-2d$ ，

$\therefore S_{n}=na_{1}+\dfrac{n(n-1)}{2}d=-2nd+\dfrac{n(n-1)}{2}d=\dfrac{d}{2}(n^{2}-5n)$ ，

$\because d\ne 0$ ，

$\therefore S_{i}(i=0$ ，1，

$2\dotsb$ ，

$100)$ 中

$S_{0}=S_{5}=0$ ，

$S_{2}=S_{3}=-3d$ ，

$S_{1}=S_{4}=-2d$ ，
其余各项均不相等，

$\therefore S_{i}(i=0$ ，1，

$2\dotsb$ ，

$100)$ 中不同的数值有：

$101-3=98$ ．
故答案为：98．
点评：本题考查等差数列的前

$n$ 项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

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