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2022年高考数学乙卷-文8

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（5分）如图是下列四个函数中的某个函数在区间

$[-3$ ，

$3]$ 的大致图像，则该函数是(　　)

A．

$y=\dfrac{-{x^3}+3x}{{x^2}+1}$ B．

$y=\dfrac{{x^3}-x}{{x^2}+1}$
C．

$y=\dfrac{2x\cos x}{{x^2}+1}$ D．

$y=\dfrac{2\sin x}{{x}^{2}+1}$
分析：首先分析函数奇偶性，然后观察函数图像在

$(1,3)$ 存在零点，可排除

$B$ 选项，再利用基本不等式可判断

$CD$ 选项错误．
解：首先根据图像判断函数为奇函数，
其次观察函数在

$(1,3)$ 存在零点，
而对于

$B$ 选项：令

$y=0$ ，即

$\dfrac{{x}^{3}-x}{{x}^{2}+1}=0$ ，解得

$x=0$ ，或

$x=1$ 或

$x=-1$ ，故排除

$B$ 选项；

$C$ 选项：当

$x > 0$ 时，

$2x > 0$ ，

$x^{2}+1 > 0$ ，因为

$\cos x\in [-1$ ，

$1]$ ，故

$\dfrac{2x\cos x}{{x}^{2}+1}\leqslant \dfrac{2x}{{x}^{2}+1}=\dfrac{2}{x+\dfrac{1}{x}}$ ，且当

$x > 0$ 时，

$x+\dfrac{1}{x}\geqslant 2$ ，故

$\dfrac{2}{x+\dfrac{1}{x}}\leqslant 1$ ，而观察图像可知当

$x > 0$ 时，

$f(x)_{max}\geqslant 1$ ，故

$C$ 选项错误．
同理

$D$ 选项，

$x^{2}+1 > 0$ ，

$\sin x\in [-1$ ，

$1]$ ，

$\dfrac{2\sin x}{{x}^{2}+1}\leqslant \dfrac{2}{{x}^{2}+1}$ ，当

$x > 0$ 时，

$x+\dfrac{1}{x}\geqslant 2$ ，故

$\dfrac{2}{x+\dfrac{1}{x}}\leqslant 1$ ，故排除

$D$ 选项；
故选：

$A$ ．
点评：本题主要考查函数图像的识别，属于基础题．

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