2021年高考数学浙江18

18．（14分）设函数

$f(x)=\sin x+\cos x(x\in R)$ ．
（Ⅰ）求函数

$y=[f(x+\dfrac{\pi }{2})]^{2}$ 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数

$y=f(x)f(x-\dfrac{\pi }{4})$ 在

$[0$ ，

$\dfrac{\pi }{2}]$ 上的最大值．
分析：（Ⅰ）由

$y=[f(x+\dfrac{\pi }{2})]^{2}$ ，可得

$y=1-\sin 2x$ ，然后利用周期公式求出周期；
（Ⅱ）

$y=f(x)f(x-\dfrac{\pi }{4})=\sin (2x-\dfrac{\pi }{4})+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，由

$x\in [0$ ，

$\dfrac{\pi }{2}]$ ，得到

$12x-\dfrac{\pi }{4}$ 的取值范围，再利用整体法求出

$y=f(x)f(x-\dfrac{\pi }{4})$ 的最大值．
解：函数

$f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\dfrac{\pi }{4})$ ，
（Ⅰ）函数

$y=[f(x+\dfrac{\pi }{2})]^{2}=[\sqrt{2}\sin (x+\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi }{4})]^{2}=2\cos ^{2}(x+\dfrac{\pi }{4})$

$=1+\cos [2(x+\dfrac{\pi }{4})]=1+\cos (2x+\dfrac{\pi }{2})=1-\sin 2x$ ，
则最小正周期为

$T=\dfrac{2\pi }{2}=\pi$ ；
（Ⅱ）函数

$y=f(x)f(x-\dfrac{\pi }{4})=\sqrt{2}\sin (x+\dfrac{\pi }{4})\cdot \sqrt{2}\sin (x-\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi }{4})$

$=(\sqrt{2}(\sin x+\cos x)\sin x=\sqrt{2}(si{n}^{2}x+\sin x\cos x)$

$=\sqrt{2}(\dfrac{1-\cos 2x}{2}+\dfrac{1}{2}\sin 2x)=\sin (2x-\dfrac{\pi }{4})+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，
因为

$x\in [0,\dfrac{\pi }{2}]$ ，所以

$2x-\dfrac{\pi }{4}\in [-\dfrac{\pi }{4},\dfrac{3\pi }{4}]$ ，
所以当

$2x-\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\pi }{2}$ ，即

$x=\dfrac{3\pi }{8}$ 时，

$f(x)_{max}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ．
点评：本题考查了三角函数的图像性质，涉及求解函数的周期以及最值问题，考查了运算能力，属于基础题．

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