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2020年高考数学新高考Ⅱ-19

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（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的

$PM2.5$ 和

$SO_{2}$ 浓度（单位：

$\mu g/m^{3})$ ，得下表：

	$[0$ ， $50]$	$(50$ ， $150]$	$(150$ ， $475]$
$[0$ ， $35]$	32	18	4
$(35$ ， $75]$	6	8	12
$(75$ ， $115]$	3	7	10

（1）估计事件“该市一天空气中

$PM2.5$ 浓度不超过75，且

$SO_{2}$ 浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的

$2\times 2$ 列联表：

	$[0$ ， $150]$	$(150$ ， $475]$
$[0$ ， $75]$
$(75$ ， $115]$

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有

$99%$ 的把握认为该市一天空气中

$PM2.5$ 浓度与

$SO_{2}$ 浓度有关？
附：

$K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(K^{2}\geqslant k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

分析：（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中

$PM2.5$ 浓度不超过75，且

$SO_{2}$ 浓度不超过150”的概率；
（2）根据题目所给的数据填写

$2\times 2$ 列联表即可；
（3）计算

$K^{2}$ ，对照题目中的表格，得出统计结论．
解答：解：（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中

$PM2.5$ 浓度不超过75，且

$SO_{2}$ 浓度不超过150”的概率

$P=\dfrac{32+18+6+8}{100}=0.64$ ；
（2）根据所给数据，可得下面的

$2\times 2$ 列联表：

（3）根据（2）中的列联表，
由

${K^2}=\dfrac{n{{(ad-bc)}^2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}=\dfrac{100\times (64\times 10-16\times 10)^{2}}{80\times 20\times 74\times 26}\approx 7.484>6.635$ ，

$P(K^{2}\geqslant 6.635)=0.01$ ；
故有

$99%$ 的把握认为该市一天空气中

$PM2.5$ 浓度与

$SO_{2}$ 浓度有关，
点评：本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，属于基础题．

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