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2020年高考数学新高考Ⅱ-16

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某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．

$O$ 为圆孔及轮廓圆弧

$AB$ 所在圆的圆心，

$A$ 是圆弧

$AB$ 与直线

$AG$ 的切点，

$B$ 是圆弧

$AB$ 与直线

$BC$ 的切点，四边形

$DEFG$ 为矩形，

$BC\bot DG$ ，垂足为

$C$ ，

$\tan \angle ODC=\dfrac{3}{5}$ ，

$BH//DG$ ，

$EF=12cm$ ，

$DE=2cm$ ，

$A$ 到直线

$DE$ 和

$EF$ 的距离均为

$7cm$ ，圆孔半径为

$1cm$ ，则图中阴影部分的面积为　____

$cm^{2}$ ．

分析：设大圆的半径为

$R$ ，利用已知条件求出

$OQ$ 、

$OD$ 的长，利用

$\tan \angle ODC=\dfrac{3}{5}$ 求出大圆的半径

$R$ ，再根据图中线段关系得出

$\Delta AOH$ 为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．
解答：
作

$AM$ 垂直于

$EF$ ，交

$OH$ 、

$DG$ 于

$S$ 、

$N$ ，垂足为

$M$ ，过点

$O$ 作

$OQ$ 垂直于

$DQ$ ，垂足为

$Q$ ，

$\because A$ 到直线

$DE$ 和

$EF$ 的距离均为

$7cm$ ，

$\therefore EM=AM=7$ ，
又

$\because EF=12$ ，

$MN=DE=2$ ，

$\therefore NG=MF=12-7=5$ ，

$AN=AM-NM=7-2=5$ ，

$\therefore \angle AGD=45^\circ$ ，

$\because BH//DG$ ，

$\therefore \angle AHO=45^\circ$ ，
由于

$AG$ 是圆弧的切线，

$\therefore AG\bot OA$ ，

$\angle AOH=45^\circ$ ，
设大圆的半径为

$R$ ，则

$AS=OS=\dfrac{R}{\sqrt{2}}$ ，

$OQ=SN=5-\dfrac{R}{\sqrt{2}}$ ，

$DQ=DN-QN=7-\dfrac{R}{\sqrt{2}}$ ，

$\because \tan \angle ODC=\dfrac{3}{5}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{5-\dfrac{R}{\sqrt{2}}}{7-\dfrac{R}{\sqrt{2}}}=\dfrac{3}{5}$ ，解得

$R=2\sqrt{2}$ ，
图中阴影部分面积分为扇形

$AOB$ 和直角

$\Delta AOH$ 的面积减去小半圆的面积，
所以

${{S}_{}}=\dfrac{135}{360}\times \pi \times {{(2\sqrt{2})}^{2}}+\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\times \pi \times 1=\dfrac{5}{2}\pi +4$ ．
故答案为：

$\dfrac{5}{2}\pi +4$ ．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．

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