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2020年高考数学全国卷Ⅱ--文21

(2020全国Ⅱ卷计算题)

已知函数

(1)若,求的取值范围。

(2)设,讨论函数的单调性。

【出处】
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷):文数第21题
【答案】

(1)

),

),

,此时单调递增,

,此时单调递减,

所以当时,有最大值,

所以

所以

(2)由题意

),

所以

因为

所以当时,有,所以,即单调递减,

时,有,所以,即单调递增,

所以当时,有极大值,

所以

因为

所以上恒成立,

所以上均单调递减。

【解析】

本题主要考查导数的计算和导数在研究函数中的应用。

(1)将转化为,令,求出的最大值,即可得到的取值范围。

(2),求导得到,令,求导得到的单调性,从而得到,所以上恒成立,得出的单调性。

【考点】
导数的计算利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值与最值导数的计算导数在研究函数中的应用
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