2019年高考数学天津--文19<-->返回列表
（本小题满分分）
设函数，其中。
（Ⅰ）若，讨论的单调性；
（Ⅱ）若，
（ⅰ）证明恰有两个零点；
（ⅱ）设为的极值点，为的零点，且，证明。
（Ⅰ）因为，
所以，。
因为，
则恒成立，
所以函数在上单调递增。
（Ⅱ），。
（ⅰ）令，则在上单调递减。
因为，，
所以在上有解，设该解为，，
则，，
所以当时，，，
当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
所以在上有一个零点。
令，，
所以在上恒成立，
所以。
因为，所以，
所以当时，，
所以在上有一个零点，
所以函数在上有两个零点。
（ⅱ）因为为的极值点，为的零点，且，
所以由（ⅰ）可得，，，
即，
整理得，
由（ⅰ）可得当时，，
所以，
两边取对数得，
整理得。
本题主要考查导数的计算、运用导数证明不等式以及导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）求导，根据的取值范围可得恒成立，所以函数在上单调递增。
（Ⅱ）（ⅰ）求导，分析导函数可得函数的单调性和极值点，再根据极值点的取值范围分析函数在不同区间的正负，即可得函数的零点个数。
（ⅱ）根据为的极值点，为的零点可列出等式，化简整理得，由（ⅰ）可得，两边取对数，即可得，整理即可得。
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