2019年高考数学新课标3--理18<-->2019年高考数学新课标3--理20
（分）图是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，。将其沿，折起使得与重合，连结，如图。
（1）证明：图中的，，，四点共面，且平面平面；
（2）求图中的二面角的大小。
（1）因为四边形为矩形，所以与平行且相等。
又因为四边形为菱形，所以与平行且相等。
所以图中，与平行且相等，四边形为平行四边形，
所以，，，四点共面。
因为四边形为矩形，所以。
又因为为直角，，所以。
又因为，所以平面。
又因为平面，所以平面平面，
所以，，，四点共面，且平面平面。
（2）过点作直线垂直于平面。
建立以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点垂直于平面的直线为轴的空间直角坐标系，如图所示。
由（1）可知，平面，
所以平面所在面即为面，且即为平面的法向量。
又因为，则，
因为，且四边形为菱形，。
过点作垂直于轴于点，
则，，
则，
由此可得，。
设平面的法向量为，
因为，，
则
可得
取，则，，即。
又因为为平面的法向量，
设二面角为，由图可知，
所以，则二面角为。
本题主要考查点、直线、平面的位置关系、空间直角坐标系以及空间向量的应用。
（1）由矩形性质可知且，又因为与重合且相等，则且，点，，，可组成平行四边形，则四点共面；因为四边形为矩形，为直角三角形，则，，又因为，所以平面，又因为平面，所以题目得证。
（2）过点作直线垂直于平面，则建立以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点垂直于平面的直线为轴的空间直角坐标系，因为平面，则即为平面的一个法向量。设平面的一个法向量为，由，即可求得，从而的到二面角的余弦值，由特殊角的余弦值可知二面角为。
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