2019年高考数学北京--理17<-->2019年高考数学北京--理19
（本小题分）已知抛物线经过点。
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点。求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点。
（Ⅰ）将代入，得，即。
所以抛物线的方程为，
所以准线方程为。
（Ⅱ）由题可知，直线过抛物线的焦点，并交抛物线于，两点，
所以直线的斜率必存在。
设直线为（），，，
联立方程组，得：，
即，
由根与系数的关系得：，，
，
，，
令，则，，
所以，。
设以为直径的圆经过轴的定点为，
则，，
所以，
所以，有，
解得：或，
即以为直径的圆经过轴上的两个定点为和。
本题主要考查直线与圆锥曲线。
（Ⅰ）将点代入抛物线方程得，从而得出抛物线方程和准线方程。
（Ⅱ）先设出直线方程，将其与抛物线方程进行联立，再用根与系数的关系和平面向量的数量积进行求解。
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