2017年高考数学新课标3--理19

（1）如图所示，取中点，连接，。因为是正三角形，所以，。则有所以，则。又是直角三角形，所以是等腰直角三角形，因为为中点，所以，，则有所以。所以。因为，所以为平面的一个法向量，因为平面，所以平面平面。

（2）由（1）知，，两两垂直，所以可以以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系。不妨设，则，，，设。由平面把四面体分成体积相等的两部分，知，化简得。又在平面内直线的方程为，联立解得故点。则，，，设平面的一个法向量，由及，解得。同理可求得平面的一个法向量。所以二面角的余弦值。