2017年高考数学天津--文18<-->2017年高考数学天津--文20
（本小题满分14分）
设，，。已知函数，。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点处有相同的切线。
（i）求证：在处的导数等于；
（ii）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围。
（Ⅰ）由，可得，令，解得，或，由，得。当变化时，，的变化情况如下表：
所以，的单调递增区间为，，单调减区间为。
（Ⅱ）（i）因为，由题意知所以解得所以在处的导数等于。
（ii）因为，，由可得。又因为，，故为的极大值点，由（Ⅰ）知。另一方面，由于，故，由（Ⅰ）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立。
由，得，。令，，所以，令，解得（舍去），或。因为，，，因此，的值域为。所以，的取值范围是。
本题主要考查导数的运算、导数的几何意义及利用导数研究函数的性质。
（Ⅰ）根据函数的解析式求出其导函数，再利用和，求出两根分别为和且，然后根据的正负性写出的单调区间即可；
（Ⅱ）（i）根据题意可知求解即可得，得证。
（ii）由在区间上恒成立可得在区间上恒成立，由（i）知，可得，根据的单调性即可得在恒成立，然后将代入函数可得，再根据即可求出的取值范围。
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