2017年高考数学江苏25<-->返回列表
（本小题满分10分）
已知一个口袋中有个白球，个黑球（，，），这些球除颜色外完全相同。现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为，，，，的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉（，，，，）。
（1）试求编号为的抽屉内放的是黑球的概率；
（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望。
证明：。
（1）由题中所叙述的抽取过程可知，编号为的抽屉内放的是黑球的概率只和编号为的抽屉内所放球的颜色有关。①若编号为的抽屉内放的是黑球，则编号为的抽屉内放的是黑球的概率为，②若编号为的抽屉内放的是白球，则编号为的抽屉内放的是黑球的概率为。因此编号为的抽屉内放的是黑球的概率。
（2）最后一个黑球所在的抽屉编号只可能为，，，，即的取值只可能为，，，，一共有个球，黑球所在的位置共有种，假设第次取得最后一个黑球，则在前次中应有次取得黑球，此时黑球所在的位置共有种，则，所以，故命题得证。
本题主要考查随机变量及其分布。
（1）结合题目中叙述的抽取规则，计算出各个情况下编号为的抽屉内放的是黑球的概率，再求和即可；
（2）根据题目中的条件先求得，根据期望公式可知，，再对该式进行放缩，并利用组合数的性质化简即可证得结论。
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