2017年高考数学江苏19<-->2017年高考数学江苏21
（本小题满分16分）
已知函数（，）有极值，且导函数的极值点是的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：；
（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围。
（1）由，得，则当时，有极小值，因为的极值点是的零点，所以，即，化简得；因为有极值，故有实根，从而，解出，而当时，除去点外，故在上是增函数，没有极值，故不符合题意，舍去；当时，有两个相异的实根，则有极值。综上所述，（其中）。
（2）把代入则原命题等价于证，即，因为，所以变形后等价于证，设，所以，设，则在上单调递增，且，所以，即，故原命题得证。
（3）设的两个极值点为，，则，为方程的两根，所以，所以，所以的两个极值之和为；由（1）得的极值点为，所以的极值为，记和所有极值之和为，则，其中由（1）得，因为在时恒成立，故在上单调递减。因为，要使，则，综上。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）依次求出函数的一阶和二阶导函数，由题目已知条件可知一阶导函数与轴有两个交点，从而得到和的关系，由导函数在极值判断中的应用及已知条件可知，，从而得到和的等式关系，并与前面的不等式关系联立，可得的取值范围，由此可得定义域。
（2）将（1）中的函数关系式代入所要证的不等式，转化为关于的不等式，构造函数，求导并利用函数的单调性即可证明。
（3）设出函数的极值点，并利用极值与导函数的关系，结合韦达定理和（1）中的关系式，可以得到的两个极值和为，再由（1）中导函数的极值点以及导函数的表达式，可得到导函数的极值，结合已知条件可求得的取值范围。
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