2016年高考数学山东--文20<-->返回列表
(本小题满分14分)
已知椭圆：（）的长轴长为，焦距为。
（1）求椭圆的方程；
（2）过动点（）的直线交轴与点，交于点，（在第一象限），且是线段的中点。过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点。
①设直线、的斜率分别为、，证明为定值。
②求直线的斜率的最小值。
（1）根据题意有，，所以，，。所以椭圆的方程为。
（2）①设直线的方程为，所以点，因为点是线段的中点，所以点，根据题意可知点与点关于轴对称，所以，则，所以，为定值。
②设点、、、的坐标分别为、、、。设直线的斜率为。由（1）知，的方程为，直线的方程为，并且有的斜率为并且过点，可得直线的方程为。
由（2）得，将点坐标带入椭圆，可得，解得，由椭圆性质可知，可解出。
由于点、均在椭圆上，所以两点坐标均满足椭圆方程，将两点坐标带入并联立，可得，将两式相减可得，进一步化简得，又因为，即。
联立直线与椭圆方程得：，可得：，两曲线交点即为点与点，故由韦达定理可得，又由直线方程可得。
由（2）可知，。由以上结果可得，。
将两式带入可得。当且仅当，即时等号成立，取得最小值。
本题主要考查直线与圆锥曲线。
（1）根据题干条件，可以求出、的值，代入椭圆方程即可；
（2）①设出点坐标及直线方程，求出，的值，得到为定值；
②设出点坐标，联立直线与椭圆方程，根据题干条件求出斜率，利用均值不等式求出其取值范围即可。
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