2016年高考数学山东--理20<-->返回列表
（本小题满分14分）
平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点。
（1）求椭圆的方程；
（2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为。直线与过且垂直于轴的直线交于点。
（ⅰ）求证：点在定直线上；
（ⅱ）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标。
（1）已知椭圆的离心率是，所以有①，又因为抛物线：的焦点是点的一个顶点，所以②，且③，联立①②③得，，，所以椭圆的方程为； ......4分
（2）（ⅰ）设，由可得，所以切线的斜率，可得切线的方程为，设，，则，联立方程，由韦达定理可得：，那么，所以可得。可得直线的斜率为，所以直线为：。联立可得方程：，解得的纵坐标恒为，所以点在定直线上。
（ⅱ）因为的方程为，所以，，，所以。因为，，所以，所以，令，可得，可得，令解得，在时，，在时，，所以在时，，即的最大值为；因为，位于第一象限，所以，所以。 ......12分
本题主要考查直线与圆锥曲线。
（1）根据题干条件很容易求出，的值，代入椭圆方程即可；
（2）（ⅰ）设出点坐标及切线方程，联立切线及椭圆方程，可以求出中点的坐标，进而求出直线的方程，进而得到点在定直线上；
（ⅱ）求出，，得到的值，构造函数，求导讨论构造函数的取值范围即可。
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