2015年高考数学天津--文19<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数，。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为。求证：对于任意的实数，都有；
（Ⅲ）若方程（为实数）有两个实数根，，且，求证：。
（Ⅰ）由，可得。
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为。
（Ⅱ）设点的坐标为，则，。曲线在点处的切线方程为，即。
令函数，则。
由于在上单调递减，故在上单调递减。又因为，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以对于任意实数，，即对于任意实数，都有。
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，。设方程的根为，可得。因为在上单调递减，又由（Ⅱ）得，因此。
类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得。对于任意的，有，即。
设方程的根为，可得。因为在上单调递增，且，因此。
由此可得，。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）对求导，然后利用与原函数单调性的关系即可求出的单调区间；
（Ⅱ）先求出点的坐标以及曲线在点的切线方程，构造，然后对求导得到，利用与单调性的关系证得，从而得证；
（Ⅲ）设的根为，由（Ⅱ）的结论及的单调性证得，然后设曲线在原点处的切线方程为，设方程的根为，类似证得。从而。
全网搜索"2015年高考数学天津--文20"相关
