2015年高考数学天津--理19<-->返回列表
（本小题满分分）
已知函数，，其中，且。
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程（为实数）有两个正实数根，，求证：。
（Ⅰ）由，可得，其中，且。下面分两种情况讨论：
（1）当为奇数时。令，解得，或。当变化时，，的变换情况如下表：
所以，在，上单调递减，在内单调递增。
（2）当为偶数时。当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减。所以，在上单调递增，在上单调递减。
（Ⅱ）证明：设点的坐标为，则，。曲线在点处的切线方程为，即。令，即，则。由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有。
（Ⅲ）证明：不妨设。由（Ⅱ）知。设方程的根为，可得。当时，在上单调递减。又由（Ⅱ）知，可得。类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得。当，，即对于任意的，。设方程的根为，可得。因为在上单调递增，且，因此。由此可得。因为，所以，故。所以，。
本题主要考查函数综合。
（Ⅰ）由函数求出，分两种情况，当为奇数和为偶数时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设出点的坐标，求出曲线在点处的切线方程，再根据函数的单调性，得到对于任意正实数，都有，即可得证；
（Ⅲ）设，由（Ⅱ）知方程，当时，可知单调性，设曲线在原点处的切线方程为，当，对于任意，，设方程的根为，因为，得到，故，得证。
全网搜索"2015年高考数学天津--理20"相关
