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2015年高考数学陕西--理18

(2015陕西卷计算题)

(本小题满分12分)

如图1,在直角梯形中,的中点,的交点,将沿折起到的位置,如图2。

(Ⅰ)证明:平面

(Ⅱ)若平面平面,求平面与平面夹角的余弦值。

【出处】
2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第18题
【答案】

(1)在图1中,因为的中点,,所以,即在图2中,,从而平面,又,所以平面

(2)由已知,平面平面,又由(1)知,,所以为二面角的平面角,所以

如图,以为原点,建立空间直角坐标系,因为,所以,得。设平面的法向量,平面的法向量,平面与平面夹角为,则,得,取,又,得,取,从而,即平面与平面夹角的余弦值为

【解析】

本题主要考查点、直线、平面的位置关系与空间直角坐标系。

(1)由题意,,则可先证平面,则只需证明垂直于平面的两条相交直线;

(2)由已知及(1)可知为二面角的平面角,建立空间直角坐标系,分别求平面和平面的法向量,再由可求二面角的余弦值。

【考点】
空间直角坐标系空间向量的应用
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