2015年高考数学上海--理22<-->返回列表
（本小题满分18分）
对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期。已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为。设单调递增，，。
（1）验证是以为余弦周期的余弦周期函数；
（2）设，证明对任意，存在，使得；
（3）证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有。
（1）因为（），所以，所以 ，所以是以为周期的余弦周期函数。 ......4分
（2）由于的值域为，所以对任意，都是一个函数值，即有，使得，
若，则由的单调递增得到，与矛盾，所以，同理可得，
故对任意，存在，使得 ......10分
（3）必要性：若，且，且，
所以，所以是在上的解；
充分性：若 ，且，则，所以是在上的解。
综上，“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”。
由（2）知存在，使得，，，，，。
而是函数的单调区间，，，，。
与之前类似的可以证明：是在上的解，当且仅当是在上的解，
从而在与上的解的个数相同。
故，，，，，，对于，，，
而，故，
类似的，当，，，，时，有，
综上，结论成立。 ......18分
本题主要考查函数的性质。
（1）根据周期函数的性质先写出，然后经计算，所以是以为周期的余弦周期函数。
（2）设，存在，使得，即在上存在零点。
因为在上单调递增，所以当时，，然后根据函数的单调性分别讨论及（或）可知在上必定存在零点。
（3）先证必要性，再证充分性，必要性即已知，证明是在上的解，充分性即已知，证明是在上的解，根据题目余弦周期函数的定义证明即可。
要证明，由三角函数的概念得，再根据余弦周期函数的定义证明即可。
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