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2015年高考数学上海--理22

(2015上海卷计算题)

(本小题满分16分)

已知数列满足

(1)若,且,求的通项公式;

(2)设的第项是最大项,即),求证:的第项是最大项;

(3)设),求的取值范围,使得有最大值与最小值,且

【出处】
2015年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):理数第22题
【答案】

(1)因为,所以,所以是首项为,公差为的等差数列,。      ......4分

(2)因为,所以,左右两式相加得,所以,故,所以的第项是最大项。      ......10分

(3)由(2)可得

①当时,单调递减,有最大值单调递增,有最小值,所以由,可得,所以

②当时,,所以,所以,不满足条件。

③当时,当时,无最大值;当时,无最小值,所以没有最大值与最小值,不满足条件。

综上所述,。      ......16分

【解析】

本题主要考查数列的递推与通项和数列的综合。

(1)由的通项公式和已知递推公式可得,且,所以是首项为,公差为的等差数列。

(2)根据题目已知递推公式,由叠加法进行数列求和可得,所以,因为,所以,即的第项是最大项。

(3)由及已知条件可得通项公式,因为,所以的奇数项小于偶数项,分别讨论当以及时奇数项的最小值和偶数项的最大值,使解得的范围。

【考点】
创新数列问题数列的递推与通项
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