2015年高考数学上海--理21<-->2015年高考数学上海--理23
(本小题满分16分)
已知数列与满足,。
(1)若,且,求的通项公式;
(2)设的第项是最大项,即(),求证:的第项是最大项;
(3)设,(),求的取值范围,使得有最大值与最小值,且。
(1)因为,所以,所以是首项为,公差为的等差数列,,。 ......4分
(2)因为,所以,,,左右两式相加得,所以,故,所以的第项是最大项。 ......10分
(3)由(2)可得,
①当时,单调递减,有最大值,单调递增,有最小值,所以由,可得,所以。
②当时,,,所以,,所以,不满足条件。
③当时,当时,无最大值;当时,无最小值,所以没有最大值与最小值,不满足条件。
综上所述,。 ......16分
本题主要考查数列的递推与通项和数列的综合。
(1)由的通项公式和已知递推公式可得,且,所以是首项为,公差为的等差数列。
(2)根据题目已知递推公式,由叠加法进行数列求和可得,所以,因为,所以,即的第项是最大项。
(3)由及已知条件可得通项公式,因为,所以的奇数项小于偶数项,分别讨论当,以及时奇数项的最小值和偶数项的最大值,使解得的范围。
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