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2015年高考数学四川--理21

(2015四川卷计算题)

(本小题满分14分)

已知函数,其中。 

(1)设的导函数,讨论的单调性;

(2)证明:存在,使得在区间内恒成立,且在区间内有唯一解。

【出处】
2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第21题
【答案】

(1)由已知,函数定义域为

所以

①当时,,则在定义域上单调递增;

②当时,在区间上单调递增,在上单调递减。

(2)由,解得

故存在,使得

),

知,函数在区间上单调递增,

所以

时,有

由(1)知,在区间上单调递增,

故当时,,从而

时,,从而

所以,当时,

综上所述,存在时,使得在区间内恒成立,且在区间内有唯一解。

【解析】

本题主要考查导数在研究函数中的应用。

(1)先写出的表达式,求导判断其单调性,这里需要分类讨论;

(2)求的值,进而构造,讨论的取值范围,代入讨论取值范围,从而证得结论。

【考点】
导数的运算导数在研究函数中的应用
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