2015年高考数学四川--理20<-->返回列表
(本小题满分14分)
已知函数,其中。
(1)设是的导函数,讨论的单调性;
(2)证明:存在,使得在区间内恒成立,且在区间内有唯一解。
(1)由已知,函数定义域为,
,
所以,
①当时,,则在定义域上单调递增;
②当时,在区间,上单调递增,在上单调递减。
(2)由,解得,
令,
则,,
故存在,使得,
令,(),
由知,函数在区间上单调递增,
即。
当时,有,,
由(1)知,在区间上单调递增,
故当时,,从而;
当时,,从而。
所以,当时,。
综上所述,存在时,使得在区间内恒成立,且在区间内有唯一解。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
(1)先写出的表达式,求导判断其单调性,这里需要分类讨论;
(2)求处的值,进而构造,讨论处的取值范围,代入讨论取值范围,从而证得结论。
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