2015年高考数学四川--理17<-->2015年高考数学四川--理19
(本小题满分12分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设的中点为,的中点为。
(1)请将字母,,标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(2)证明:直线平面;
(3)求二面角的余弦值。
(1)点,,的位置如下图所示:
(2)设中点为,连接、,如下图所示:
因为为中点,为中点,在中,根据中位线定理,可知,由线面平行定理,可知面;
在正方形中,因为为中点,为中点,可知,进而同上理有面;
又因为,平面,平面,由面面平行条件可得平面平面;
又因为直线平面,所以直线平面;
(3)以为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
设正方体的棱长为,则各点坐标分别为,,,,那么向量,,,
设平面的一个法向量为,那么,即,则;
可以得到,那么二面角的余弦值为。
本题主要考查空间几何体以及空间向量的运算。
(1)由该正方体的平面展开图可知,、为正方体的棱,则可确定顶点、的位置,从而确定顶点的位置;
(2)作辅助线、,根据两平面平行判定定理可证平面平面,由两平面平行的性质可知直线平面;
(3)建立空间直角坐标系,写出各向量坐标,从而分别得到平面、的一个法向量,则可求得二面角的余弦值。
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