2015年高考数学四川--理14<-->2015年高考数学四川--理16
已知函数,(其中)。对于不相等的实数,,设,,
现有如下命题:
①对于任意不相等的实数,,都有;
②对于任意的及任意不相等的实数,,都有;
③对于任意的,存在不相等的实数,,使得;
④对于任意的,存在不相等的实数,,使得。
其中的真命题有_____(写出所有真命题序号)。
①④
本题主要考查导数的含义以及利用导数研究函数的性质。
①项,因为在其定义域上是单调递增的,根据单调递增的定义可知:对于任意的、,恒有与同号,即恒成立。故①项符合题意;
②项,由题意可得在上单调递减,在上单调递增。当单调递减时,根据单调递减的定义可知:对于任意的、,恒有与异号,即 。故②项不符合题意;
③项,如下图所示,一个连续函数存在一条割线,则一定能在曲线上找到一个点,使得函数在点处的导数(即切线斜率)与割线斜率相同;反之,任意点均能够找到某一割线,使得函数在点处的导数(即切线斜率)与割线斜率相同。
下面使用反证法。假设即成立。
设函数,则,根据上述性质,存在,使得。
因为,所以存在某一,对于任意,都有成立,即可以取任意值。然而有最小值。实际上,令,。当时,有。当时,,单调递减;当时,,单调递增,即在处取最小值。因此当时,找不到某个使得,以上推论均不成立。故③项不符合题意;
④项,函数,。
。考查,令。恒成立。即在上单调递减。并且当趋于正无穷时,趋于负无穷;当趋于负无穷时,趋于正无穷,即。任取,存在某一,使得成立。
根据上述性质,存在,使得。故④项符合题意。
故本题正确答案为①④。
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