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2015年高考数学四川--理15

(2015四川卷其他)

已知函数(其中)。对于不相等的实数,设

现有如下命题:

①对于任意不相等的实数,都有

②对于任意的及任意不相等的实数,都有

③对于任意的,存在不相等的实数,使得

④对于任意的,存在不相等的实数,使得

其中的真命题有_____(写出所有真命题序号)。

【出处】
2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第15题
【答案】

①④

【解析】

本题主要考查导数的含义以及利用导数研究函数的性质。

①项,因为在其定义域上是单调递增的,根据单调递增的定义可知:对于任意的,恒有同号,即恒成立。故①项符合题意;

②项,由题意可得上单调递减,在上单调递增。当单调递减时,根据单调递减的定义可知:对于任意的,恒有异号,即 。故②项不符合题意;

③项,如下图所示,一个连续函数存在一条割线,则一定能在曲线上找到一个点,使得函数在点处的导数(即切线斜率)与割线斜率相同;反之,任意点均能够找到某一割线,使得函数在点处的导数(即切线斜率)与割线斜率相同。

下面使用反证法。假设成立。

设函数,则,根据上述性质,存在,使得

因为,所以存在某一,对于任意,都有成立,即可以取任意值。然而有最小值。实际上,令,。当时,有。当时,单调递减;当时,单调递增,即处取最小值。因此当时,找不到某个使得,以上推论均不成立。故③项不符合题意;

④项,函数

。考查,令恒成立。即上单调递减。并且当趋于正无穷时,趋于负无穷;当趋于负无穷时,趋于正无穷,即。任取,存在某一,使得成立。

根据上述性质,存在,使得。故④项符合题意。

故本题正确答案为①④。

【考点】
指数函数函数
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