2015年高考数学北京--理19<-->返回列表
（本小题满分13分）
已知数列满足：，且（，）。记集合。
（Ⅰ）若，写出集合所有元素；
（Ⅱ）若集合存在一个元素是的倍数，证明：的所有元素都是的倍数；
（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值。
（Ⅰ），，。
（Ⅱ）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数。
由可归纳证明对任意，是的倍数。
如果，则的所有元素都是的倍数。
如果，因为或，所以是的倍数，于是是的倍数。类似可得，，，都是的倍数。从而对任意，是的倍数，因此的所有元素都是的倍数。
综上，若集合存在一个元素是的倍数，则的所有元素都是的倍数。
（Ⅲ）由，可归纳证明（）。
因为是正整数，，所以是的倍数。
从而当时，是的倍数。
如果是的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数，是的倍数。
因此当时，。这时的元素个数不超过。
如果不是的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数，不是的倍数。
当时，有个元素。
综上可知，集合的元素个数的最大值为。
本题主要考查数列的综合。
（Ⅰ）当时，根据给出的通项公式，求得，，，，所以；
（Ⅱ）可利用数学归纳法证明：先假设对任意，是的倍数，之后分别对和两种情况分别证明即可得出结论；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论分别讨论是的倍数和不是的倍数这两种情况下集合中元素的最大个数，综合两种情况得出结论。
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