2015年高考数学北京--理16<-->2015年高考数学北京--理18
如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）若平面，求的值。
（1）因为是等边三角形，为的中点，所以，又因为平面平面，平面，所以平面，所以。
（2）取中点，连结，由题设知是等腰梯形，所以，由（1）知平面，又平面，所以。
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则即，令，则，，于是，平面的法向量为，所以， 由题知二面角为钝角，所以它的余弦值为。
（3）因为平面，所以，即，因为，，所以，由及解得。
本题主要考查二面角及空间直角坐标系。
（1）由题意可知，又因为平面平面，平面，即可得。
（2）由题设和（1）可建立空间直角坐标系，根据条件，分别设法向量，由法向量和平面中向量的乘积为，可分别得出两平面的法向量，再由公式可得出余弦值为。
（3）因为，所以，又因为，，所以可解得。
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