2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）：理数第20题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）：理数第22题
（本小题满分12分）
设函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）证明：。
（Ⅰ）函数的定义域为，。由题意可得，。故，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，从而等价于。设，则。所以当时，；当时，。故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为。设函数，则。所以当时，；当时，。故在单调递增，在单调递减，从而在的最大值为。
综上，当时，，即。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）求得表达式，根据和的值即可解得，；
（Ⅱ）将所要证明的结论化为证明成立，将不等式两边用函数表示，通过求导得到两边函数的最值，分析发现左边最小值等于右边最大值，而由于取得最值的条件不相等，则等号不成立，故左边右边恒成立，得证；
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