2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）：理数第18题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）：理数第20题
（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，侧面为菱形，。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值。
（Ⅰ）连结，交于点，连结。因为侧面为菱形，所以，且为及的中点。又，所以平面。由于平面，故。又，故。
（Ⅱ）因为，且为的中点，所以。又因为，所以。故，从而，，两两互相垂直。
以点为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系。
因为，所以为等边三角形，又，则，，，，，，。
设是平面的法向量，则，即，所以。设是平面的法向量，则，同理可取。
则。所以二面角的余弦值为。
本题主要考查空间几何体线面关系的判定和二面角。
（Ⅰ）根据菱形对角线垂直平分的性质与已知条件联立得平面，则，根据等腰三角形顶点到底边中点连线垂直平分底边的性质即可得到结论；
（Ⅱ）根据全等三角形的性质得到，，两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，根据边角关系得到各点坐标，则可得到所要求的二面角所在平面的法向量，则可得其余弦值。
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