2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第20题

（Ⅰ）由，可得 。下面分两种情况进行讨论：

（1）时，在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意。

（2）时，由，得。当变化时，，的变化情况如下表：

这时，的单调递增区间是；单调递减区间是。于是“函数 有两个零点”等价于如下条件同时成立：①；②存在 ，满足 ；③存在 ，满足 。由，即，解得。而此时，取，满足 ，且；取 ，满足，且。所以， 的取值范围是 。

（Ⅱ）由，有。设 ，由，知在上单调递增，在上单调递减。并且，当时，；当时，。由已知，，满足 ，。由，及的单调性，可得 ，。对于任意的，，设 ，，其中；，其中。因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得。又由，，得。所以，随着的减小而增大。

（Ⅲ）由，，可得，。故。

设，则，且，解得，。所以，     ①。令 ，，则。令，得。当时，。因此，在上单调递增，故对于任意的 ， ，由此可得，故在上单调递增。因此，由①可得 随着的增大而增大。而由（Ⅱ），随着的减小而增大，所以随着的减小而增大。