2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第17题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第19题
（本小题满分12分）
设椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为。已知。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切。求直线的斜率。
（Ⅰ）设椭圆右焦点 的坐标为。由，可得‘，又，则 。所以，椭圆的离心率 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，。故椭圆方程为。设，由，，有 ，。
由已知，有 ，即。又，故有 ①，又因为点在椭圆上，故 ②。
由①和②可得。而点不是椭圆的顶点，故 ，代入①得，即点的坐标为 。
设圆的圆心为，则，，进而圆的半径 。
设直线的斜率为 ，依题意，直线的方程为。由与圆相切，可得 ，即 ，整理得，解得。
所以，直线的斜率为 或。
本题主要考查椭圆的性质。
（Ⅰ）根据题意，使用和表示出已知等量关系，进而得出离心率；
（Ⅱ）假设出点坐标，根据题目所给条件和圆的性质求出圆的半径。假设直线的斜率（过定点），根据圆心到直线的距离为圆的半径，求出斜率。
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